Логарифмічна функція
Логарифмічною функцією комплексного змінного z називається функція, обернена до показової.
Так як показова функція e z не є однолистою C, то зворотна до неї функція буде багатозначною. Ця логарифмічна багатозначна функція позначається Ln z. Отже, якщо w = Ln z, то z = e w . Зауважимо, що оскільки e z 6= 0; 8z 2 C, то Ln 0 немає. Покладемо
w = u + iv; z = re i' = re i Arg z;
re i Arg z = z = e w = e u+iv = e u e iv :
Порівнюючи числа, що стоять ліворуч і праворуч цього ланцюжка, укладаємо, що
r = e u; e i Arg z = e iv :
З першої рівності знаходимо u = ln r де ln r звичайний натуральний логарифм позитивного числа r. Друга рівність у (4.15) дає v = Arg z. Таким чином,
Ln z = ln jzj + i Arg z:
Кожному комплексному числу z, відмінному від 0 і 1, формула (4.16) ставить у відповідність безліч значень Ln z, що відрізняються один від одного на величину 2 ki, де k будь-яке ціле число. Зручно уявити Arg z у вигляді
Arg z = arg z + 2 k;
де arg z головне значення аргументу. Тоді формула (4.16) набуде вигляду:
Ln z = ln jzj + i (arg z + 2 k); k 2 C:
приклад 4.5. Розв'язати рівняння e 2
Щоб привести це число до виду алгебри, скористаємося формулою (4.17).
2i Ln(2 2i) = 2i (ln j2 2ij + i Arg(2 2i)) =
Для кожного значення k функція Ln z є безперервною однозначною функцією в комплексній площині з розрізом негативної частини дійсної осі; вона також і аналітична в цій галузі як функція, обернена до аналітичної функції e z . Таким чином, для кожного фіксованого k формула (4.17) визначає регулярну гілка багатозначної функції Ln z. Ця гілка відображаєплощина з розрізом негативною частиною дійсної осі в смугу
+ 2 k 1 2 смугу c 1 2 .
Щоб уявити собі риманову поверхню функції Ln z, візьмемо нескінченну кількість екземплярів ("аркушів") площини з розрізом негативною частиною дійсної осі і склеїмо їх так, як показано на рис. 4.14.
Над кожною точкою площини, крім точок z = 0 і z = 1, розташовується безліч точок риманової поверхні. У точках 0 та 1 функція Ln z не визначена, і точок поверхні над ними немає. Точки z = 0 та z = 1 називаються точками розгалуження нескінченного порядку.
Мал. 4.14 наочно демонструє причину, що ln( 1 + i 0) 6= ln( 1 i 0). Якщо припустити, що точки 1 ih знаходяться на тому самому аркуші ріманової поверхні і спрямувати h до нуля, то граничні положення 1 + i 0 і 1 i 0 цих точок виявляться на різних аркушах риманової поверхні.
Виділити регулярну гілку логарифму можна у області D, що є площиною з розрізом по негативної частини дійсної осі. Якщо зробити розріз площини по будь-якому променю, отримана область також допускає виділення в ній регулярної гілки. Нехай розріз зроблений променем, що йде під кутом до осі OX. Тоді регулярні гілки задаватимуться наступною формулою: при z = re i', 0 (z) = z 1;
аналогічною формулою для похідної логарифму дійсного змінного. Цей факт виводиться з рівності (e z) 0 = e z та формули похідної зворотної функції.
4.6. Загальна статечна функція
Загальна статечна функція w = z a де a = + i фіксоване комплексне число, визначається співвідношенням
Вважаючи z = re i', отримуємо Ln z = ln r + i(' + 2 k). Отже,
z a = e (+i) (ln r+i('+2 k)) = e ln r ('+2 k) e i(('+2 k)+ lnr):
Звідси видно, що з 6= 0 функція jz a j = e ln r ('+2 k) приймає безліч значень. І тут кажуть, що функція є нескінченнозначною. Отже, при 6= 0 функція z a буде нескінченнозначною.
При = 0 отримуємо
z a = e ln r e i ('+2 k):
Звідси випливає, що значення статечної функції відрізняються лише аргументами k = ( + 2 k). Якщо раціональне число, тобто. воно представимо нескоротним дробом = m n (m
і n цілі числа), то серед k є лише n значень, що визначають різні значення z a :