Мат_ан - Стор 4
R визначається з рівності a = p
використовуючи визначення нашої гілки (або просто використовуючи властивості функції Жуковського),
ми отримаємо, що наша область відображається на верхню напівплощину з викинутим
і потім відображення
). Тоді (див. задачу N 2) ми отримаємо верхню напівплощину.
Ÿ5. Застосування принципу симетрії Рімана-Шварца
1. Відобразити на верхню напівплощину зовнішність хреста, що складається з відрізка [ ¡ a; b] речової осі та відрізка [ ¡ci; ci] уявної осі (a; b 0; c 0; a 2 + b 2 + c 2 6 = 0) .
Проведемо допоміжний розріз по речовій осі, що складається з дуги кола ° = (b; 1) [( ¡1; ¡a) що лежить на речовій осі. Візьмемо як область
D верхню напівплощину з викинутим відрізком [0; ci] по уявній осі. Тоді область D[D¤[° якраз є шуканою областю, яку нам необхідно відобразити (D¤
симетрична з D область щодо дуги °). Відображення p області D на верхню напівплощину (тобто область Im z > 0 ) задається рівністю w 1 = c 2 + z 2 (див. задачу N 4
3). Простежимо, куди при цьому відображенні з'явиться дуга ° . Åñëè w 0 = z 2 , î äóãà °
перейде на інтервал від b
на верхньому березі розрізу по позитивній
, що лежить на нижньому березі розрізу.
речової осі та на інтервал від
Після зсуву на c
і вилучення кореня ми отримаємо, що дуга ° 1 (образ ° ) є об'єдна-
що лежать на речовій осі. Згідно
принципу симетрії існує продовження відображення w 1 (z) в область D ¤
що продовжена функція визначає конформне відображення області D [ D ¤ [ ° íà
D[D¤[°. У нашому випадку область D[D¤[°
1 1 1 p p 1 1 1 є вся площина звикинутим відрізком [ ¡ a 2 + c 2 ; b 2 + c 2] по речовій осі. Як і в Ÿ3, ми отримаємо, що функція w 2 = ( p b 2 + c 2 ¡ w 1 ) = ( w 1 + p a 2 + c 2 ) відображає нашу область на всю площину
розрізом по позитивній частині речової осі. Потім шуканим відображенням буде відображення
w = p w 2 = ( p b 2 + c 2 ¡ p z 2 + c 2 ) = ( p z 2 + c 2 + p a 2 + c 2 )) 1 = 2 :
Тут під величиною p z 2 + c 2 для точок z 2 D ¤ ми розуміємо продовження функції w 1 (z) èç D â D 1 згідно з принципом симетрії (насправді воно має такий самий вигляд).
2. Відобразити на верхню напівплощину зовнішність правої гілки гіперболи
Без обмеження спільності ми можемо вважати, що ® 2 (0 ; ¼= 2) . Мо могли
б застосувати функцію, обернену до функції Жуковського. Але вона у нашій області не допускає виділення однозначних гілок, оскільки область містить точку z = ¡1
точку розгалуження нашої функції. Тому проведемо допоміжний розріз ° по речовій осі ° = ( ¡ 1; cos ® ) і візьмемо як ділянку D верхню напівплощину з викинутою начинкою правої гілки гіперболи (20). Тоді D[D¤[° є шукана область. У ділянці D функція допускає виділення однозначних гілок. Виділимо гілка цієї функції виходячи з умови w 1 (cos ® ) = e i ® . При цьому буде виконано
w 1 (¡ 1) = ¡ 1, а інтервал [ ¡ 1 ; cos ® ] речової осі відображається на дугу кола jzj = 1 (див. властивості функції Жуковського). Причому легко зрозуміти, що шукана дуга
åñòü fz: jzj = 1; ® · arg z · ¼g. Точки інтервалу ( ¡1; ¡ 1] по речовій осі відобразяться на інтервал ( ¡1; ¡ 1] по речовій осі. Користуючись формулами (17) легко побачити, що промінь fz : jzj > 1 ; arg z = ®g відобразиться функцією Жуковського на частину правої гілкигіперболи (20), що лежить в ділянці fu; v > 0 g. Відповідно відре-
çîê fz: jzj 1; arg z = ®g і друга гілка відображає
цю частину на відрізок fz: jzj 1; arg z = ®g. Таким чином, область D при нашому
відображення перейде на область D 0 = fz: Im z & gt; 0; jzj > 1 ® 0; jzj > 1 g. Äóãà °
перейде на відрізок ( ¡1; ¡ 1) по речовій осі в
об'єднанні з безліччю точок
fz : Im z 0 ; jzj = 1g. Застосуємо функцію Жуковського w 4 = 2 (w 3 +
область (див. задачу N 2 Ÿ3) перейде на верхню напівплощину, а образ дуги ° ïðè îòîá-
перейде на інтервал °1
= (1, 1) . Таким чином, D 1
= fz: Im z > 0 g, à
° 1 = ( ¡1; 1) . Застосуємо принцип симетрії. Відповідно до принципу симетрії продовжено-
ця функція відображатиме D [ D ¤ [ ° íà D 1 [ D 1 ¤ [ ° 1 . Таким чином, ми отримали
всю площину з розрізом по речовій осі. Шукане відображення записуватиметься
w ( z ) = p w 4 ( z ) ¡ 1 :
Зауважимо, що, користуючись принципом симетрії, ми можемо відображати конформно, наприклад, начинка еліпса x 2 =a 2 + y 2 =b 2 0 g . В силу вищенаведеного нам достатньо перевірити куди відобразиться відрізок речової осі [0; ¼]. На цьому відріз-
ке функція w = cos z набуває речових значень, що лежать в інтервалі [ ¡ 1 ; 1].
Тобто межа цієї напівсмуги відобразиться на речову вісь. При руху по відрізку [0; ¼] від точки нуль до ¼ наша напівсмуга залишається ліворуч. При цьому точки
w(z) рухаються від точки 1 до точки ¡1. Наша область при цьому також має залишатися
зліва. Отже, наша напівсмуга відображається на нижню напівплощину. Тоді, відповідно, напівсмуги fz : 0 0 g з розрізом повідрізку fx = ¼ = 2; y 2 [0; ¯ ] g .
Застосуємо функцію w 1 = cos z. Наша напівсмуга, як було зазначено на початку це-
го параграфа, перейде в нижню напівплощину. Побудуємо, куди відобразиться розріз. Скористайтеся (21). Ми маємо, що на розрізі