Методична розробка з алгебри (11 клас) на тему Обчислення обсягів геометричних тіл з

Розробка відкритого уроку з алгебри та початку аналізу в 11 класі

Обчислення обсягів геометричних тіл за допомогою певного інтегралу

Навчити застосовувати інтегрування функцій як спосіб розв'язання геометричних завдань знаходження обсягів.
Розвивати логічне мислення, просторову уяву, уміння діяти за алгоритмом, складати алгоритми дій.
Виховувати пізнавальну активність, самостійність.

Устаткування: мультимедійний проектор, комп'ютерний клас.

На уроці використовуються як дидактичне забезпечення:

, Електронні навчальні модулі Відкритих Мультимедіа Систем (ОМС) http://eor.edu.ru/.

Важко назвати задачі, що частіше зустрічаються на практиці, ніж задачі на обчислення обсягів. Про них замислюються і будування будинку, і переливаючи воду з однієї судини в іншу. Правила та прийоми обчислення обсягів мали виникати, інша справа, наскільки вони були точні та обґрунтовані.

1612 був для жителів австрійського міста Лінц, де жив тоді відомий астроном Йоганн Кеплер дуже врожайним, особливо на виноград. Люди заготовляли бочки винні і хотіли знати, як практично визначити їх обсяги. (Слайд 2)

Це питання саме входило до кола інтересів Йоганна Кеплера, який лише недавно випустив працю “нова астрономія”. Так народилася його "Нова стереометрія винних бочок", що вийшла друком у 1615 році. Кеплер обчислював обсяги геометричних тіл, грунтуючись ідеї розкладання тіла на “найтонші кружечки”, з цих частин становив тіло, обсяг якого йому вже відомий. (Слайд 3)

Розглянемо уривок із відомої казки А.С. Пушкіна “Казка про царя Салтана, про сина його славного і могутнього богатиря князя Гвідона Салтановича і про прекрасну царівну Лебеде” (Слайд 4):

….. І привіз гонець хмільний Того ж дня наказ такий: “Цар велить своїм боярам, Часу не витрачаючи задарма, І царицю і приплід Таємно кинути в безодню вод”. , Прочитали вголос указ, І царицю в той же час У бочку з сином посадили, Засмолили, покотили І пустили в океан - Так наказав цар Салтан.

Якими ж мали бути розміри бочки, щоб у ній помістилися цариця та її син? Розглянемо діжку стандартних розмірів.

Чи могли поміститися Царівна із сином у бочці, якщо радіус її основи 30 см, максимальна ширина – 80 см, а висота бочки – 1 метр? (слайд 5)

Ціль нашого сьогоднішнього уроку – навчитися обчислювати обсяги тіл за допомогою інтегрування.

Основне поняття інтегрування – інтеграл.

Що ми називаємо певним інтегралом певної функції f(x)?
Які практичні завдання можна вирішувати за допомогою знаходження інтегралу?
Обсяги яких геометричних тіл ви вже знаєте?

Як галузь математики інтегральне числення з'явилося 1696 року, ввів його Бернуллі. (Слайд 6)

Отже, розглянемо геометричне тіло Т та обчислимо його обсяг.

Виводиться формула обсягу у вигляді через певний інтеграл. (Слайди 7, 8)

Розглянемо завдання, яке вирішимо за допомогою методу інтегрування.

Завдання. Знайти об'єм похилої трикутної призми з основою S та висотою h.

Завдання вирішується відповідно до слайду. (Слайд 9)

На прикладі цього завдання складітьалгоритм обчислення об'єму геометричного тіла за допомогою певного інтегралу. (Слайд 10)

Тепер вам пропонується групова робота за комп'ютерами. (Слайд 11)

Завдання для групи №1

Який обсяг молока може увійти до тетрапака у вигляді піраміди, основа якої рівносторонній трикутник зі стороною 20см, висотою 24см.
Єгипетські піраміди – найдавніше і водночас єдине чудо світу, що збереглося до наших днів. Піраміда Хеопса – найбільша піраміда. Вона була найбільшим будинком світу, поки в 1889 не поступилася Ейфелевої вежі. Зараз висота піраміди становить 137 м, основа 230 * 230м, вага 6400000 тонн. Обчисліть об'єм піраміди.

Завдання для групи №2

Об'єм усіченої піраміди.

Скільки літрів води вміщує водоймище, що має форму правильної чотирикутної усіченої піраміди, якщо глибина його дорівнює 1,2 м, а сторони основ – 10м та 5м?
Бак, що має форму правильної чотирикутної зрізаної піраміди, вміщує 190л бензину. Знайдіть глибину цього бака, якщо сторони його основ дорівнюють 60см і 40см.

Завдання для групи №3

Два циліндри на цьому малюнку тотожні. Порівняйте обсяги конуса. Вписаний в лівий циліндр, і два конуси, вписані в правий циліндр.

Сталевий конус, що має в діаметрі 25см і висоту 30см, сточується до 20см в діаметрі, причому залишається та ж висота. На скільки зменшиться об'єм конуса?

Завдання для групи №4

Об'єм зрізаного конуса.

Бак має форму зрізаного конуса, радіуси основ якого дорівнюють 30см і 20см, а висота – 24см. Визначте ємність цього бака.
Скільки літрів води вміщує відро, що має форму зрізаного конуса, якщо діаметри йогооснов дорівнюють 28см і 24 см, а твірна – 24,5см?

Завдання для групи №5

Об'єм кулі, кульового сектора та сегмента.

Діаметр Місяця становить приблизно четверту частину діаметра Землі. Порівняйте обсяги Місяця та Землі.
Дві сталеві кулі мають у діаметрі: один – 10см, а інший – 5см. У скільки разів перша куля важча за другу?

Завдання для групи №6

Виконайте вправи з підручника № 673, 674, 675.
Виконайте завдання модуля “Обертання криволінійної трапеції. П3”, згенерувавши 3 завдання.
Виведіть формулу знаходження об'єму бочки, радіус основи якої R1, максимальна ширина D2, висота H.
Приготуйте захист розв'язання задач.

На виконання роботи 30 хвилин. Завдання можуть виконуватися на папері або у програмі Power Point. Після виконання кожна група захищає свій проект рішення та пропонує вирішити однокласникам придумані завдання.

Рішення захищають представники кожної групи.

Завдання для самостійного вирішення. (Слайд 13)

Металеву кулю радіусом 100мм треба перелити в циліндр, висота якого дорівнює 100мм. Знайдіть довжину радіуса основи циліндра.
Склянка для морозива конічної форми має 12см глибину і 5см по діаметру верхньої частини. На нього зверху поклали дві ложки морозива у вигляді півкуль діаметром 5см. Чи переповнить морозиво стаканчик, якщо дозволити йому розтанути.
Інженер, зріст якого 180см прийшов розглянути нову цистерну для зберігання води. Він забрався в порожню цистерну, і коли він піднявся на місце, що знаходиться в 5м 40см над точкою, в якій цистерна упирається на землю, його голова торкнулася верхнього краю цистерни. Знаючи, що місто споживає за годину 40 тисяч літрів води, вононегайно розрахував, скільки годин може вистачити повної цистерни. Як він це зробив і як він отримав результат.
На полиці в магазині стоять дві банки суничного варення того самого сорту. Одна банка в 2 рази вища за іншу, зате її діаметр у 2 рази менший. Висока банка коштує 23 центи, а низька 43 центи. Яку купити вигідніше?
Основа прямого кругового конуса має діаметр 12 см, а висота конуса дорівнює 12см. Конус наповнили водою, потім у конус опустили кулю так, що він сперся на стінки конуса. Над водою при цьому опинилася рівно половина кулі. Скільки води залишилося в конусі після того, як куля була вийнята?

Підбиття підсумків уроку. Розв'язання задачі за казкою А. С. Пушкіна. Повторення формул обсягів геометричних тіл (слайди 14, 15). Рефлексія.

Підручник Л. С. Атанасяна Геометрія 10-11, § 3, № 679, 685, 690, 702.