НАБЛИЖЕННЯ АНАЛІТИЧНИХ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ ЛІНІЙНИМИ СЕРЕДНІМИ РЯДАМИ ФУР’Є, Рівненська,
Повний текст:
Робота стосується питань наближення періодичних функцій високої гладкості, що диференціюються, повторними середніми арифметичними сумами Фур'є. Однією з найбільш загальних класифікацій періодичних функцій нині — класифікація, запропонована A. І. Степанцем, заснована на понятті (ψ, β)–диференціювання. Вона дозволяє єдиним чином класифікувати сумовані періодичні функції, починаючи від функцій, ряд Фур'є яких може розходитися, і закінчуючи нескінченно диференційованими функціями, включаючи аналітичні та цілі. При відповідному виборі параметрів класи (ψ, β)-диференційованих функцій збігаються з відомими класами Вейля, класами Соболєва Wl p і класами згорток з фіксованими ядрами.
Протягом останніх десятиліть суми Валле Пуссена та їх особливі випадки (суми Фур'є та суми Фейєра) інтенсивно вивчалися багатьма визначними фахівцями в теорії функцій.
В даний час великий обсяг фактичного матеріалу накопичений у численних публікаціях. Один із найважливіших напрямів у цій галузі — дослідження наближувальних властивостей зазначених сум для різних класів функцій.
Мета роботи — систематизувати відомі результати, пов'язані з наближенням властивостей методів підсумовування Валле Пуссена на класах інтегралів Пуассона, а також представити нові факти, отримані для їх узагальнень.
У ряді випадків встановлені асимптотичні формули для точних верхніх граней відхилень у рівномірній метриці тригонометричних поліномів V(2) n,p(f;x), що породжуються повторним застосуванням методу підсумовування Валле Пуссена, на класах C β,∞ і C β Hω, які задаються мультиплікаторами ψ(k) і зсувами поаргументу β за умови, що послідовності ψ(k), що визначають зазначені класи, зменшуються до нуля зі швидкістю геометричної прогресії (у цьому випадку функції із класів C β,∞ і C β Hω допускають регулярне продовження у відповідну смугу комплексної площини).
У роботі розглянуто узагальнені суми Валле Пуссена, вивчено їх наближення властивостей на класах аналітичних періодичних функцій. Отримано асимптотичні рівність для верхніх граней відхилень повторних сум Валле Пуссена на класах інтегралів Пуассона. У відповідних випадках ці рівності гарантують вирішення завдання Колмогорова-Микольського для повторних сум Валле Пуссена та класів інтегралів Пуассона. Вказано умови, за яких повторні суми надають кращий порядок наближення, ніж звичайні суми Валле Пуссена.