Нарощення за простою процентною ставкою

Формула нарощення. date of maturity, due date). Нарощена сума визначається множенням початкової суми боргу (principal) намножник нарощення,який показує, у скільки разів нарощена сума більша за початкову. Розрахункова формула залежить від виду застосовуваної відсоткової ставки та умов нарощення.

Для запису формули нарощення простих відсотків (simple interest) приймемо позначення:

I- відсотки за весь термін позички;

P -первісна сума боргу;

S -нарощена сума, або сума в кінці терміну;

i- ставка нарощення (десятковий дріб);

Термін зазвичай вимірюється у роках, відповідноi- річна ставка. Щороку приносить відсотки у суміPi.Нараховані за весь термін відсотки (accrued interest) складутьI=Pni.

Нарощена сума, таким чином, знаходиться як

Вираз (1.1) називають формулою нарощення за простими відсотками або коротко — формулою простих відсотків, а множник — множником нарощення простих відсотків. Графік зростання за простими відсотками представлений на рис. 1.1.

простою
нарощення

Зауважимо, що збільшення відсоткової ставки або терміну вkразів збільшить множник нарощення в (1+kni)/(1+ni)разів.

Приклад 1.1. Визначимо відсотки та суму накопиченого боргу, якщо позичка дорівнює 700 тис. руб., Термін - чотири роки, відсотки прості, ставка - 20% річних. Знаходимо

I= 700 х 4 х 0,2 = 560 тис. руб.;S =700 + 560 = 1260 тис. руб.

Збільшимо ставку вдвічі. Сумавідсотків при цьому подвоїться, однак нарощена сума збільшиться у (1+2х4х0,2)/(1+4х0,2) = 1,444 рази.

Практика розрахунку відсотків для короткострокових позичок. Зазвичай до нарощення за простими відсотками вдаються при видачі короткострокових позичок (на строк до одного року) або у випадках, коли відсотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються кредитору. Оскільки ставка, зазвичай, фіксується у контракті у розрахунку протягом року, то за терміну позички менше року необхідно визначити, яка частина річного відсотка сплачується кредитору. Аналогічна проблема виникає і в інших випадках, коли термін позички менший за період нарахування.

Розглянемо найпоширеніший у практиці випадок — із річним періодом нарахування. Для початку висловимо загальний термінпу вигляді дробу:

де t - число днів позички;

K -число днів на рік, аботимчасова база(time basis).

При розрахунку простих відсотків припускають, щоK=360 (12 місяців по 30 днів) абоK=365, 366 днів. ЯкщоK= 360, то отримуютьзвичайні,абокомерційні,відсотки (ordinary interest), a при використанні дійсної тривалості року (365, 366) отримують>точнівідсотки (exact interest).

Число днів позички також можна виміряти приблизно і точно. У першому випадку тривалість позички визначається за умови, за якою будь-який місяць приймається рівним 30 дням. Точне число днів позички визначається шляхом підрахунку числа днів між датою видачі позички та датою її погашення. День видачі та день погашення вважаються за один день. Для підрахунку числа днів можна скористатися табл. 1 Програми.

Отже, можливі та застосовуються на практиці три варіанти розрахунку простих відсотків:

а)точнівідсотки з точним числом днів позички. Цей варіант, природно, дає найточніші результати. Даний спосіб застосовується центральними банками багатьох країн та великими комерційними банками, наприклад, у Великобританії. Зазвичай він позначається як 365/365 чи ACT/ACT;

б)звичайні відсотки з точним числом днів позички.Цей метод, іноді званийбанківським(Banker's Rule), поширений у позичкових операціях комерційних банків, зокрема у Франції. Він позначається як 365/360 чи ACT/360. Цей варіант дає більший результат, ніж застосування точних відсотків. Зауважимо, що за числі днів позички, що перевищує 360, цей спосіб призводить до того, що сума нарахованих відсотків буде більшою, ніж передбачається річною ставкою. Наприклад, якщоt= 364, тоn= 364/360 = 1,011;

в)звичайні відсотки з наближеним числом днівзсуди. Такий метод застосовується тоді, коли потрібно великої точності, наприклад при проміжних розрахунках. Його прийнято на практиці комерційних банків Німеччини. Цей метод позначається як 360/360.

Варіант розрахунку з точними відсотками та наближеним числом днів позички позбавлений сенсу та не застосовується.

Зауважимо, що оскільки точне число днів позички здебільшого, але, зрозуміло, який завжди більше наближеного (у чому легко переконатися, визначивши середнє протягом року число днів на місяці, що дорівнює 30,58), то відсотки з точним числом днів зазвичай дають більший зростання.

1. Точні відсотки з точним числом днів позички (365/365):

руб.

2. Звичайні відсотки з точним числом днів позички (360/365):

руб.

3. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позички (360/360):

руб.

Нарахування відсотків у суміжнихкалендарних періодах. Вище при нарахуванні відсотків не бралося до уваги розташування терміну позичкової операції щодо календарних періодів. Водночас часто дати початку та закінчення позики знаходяться у двох суміжних календарних відрізках часу. Зрозуміло, що нараховані відсотки неможливо знайти цілком віднесено до одного з них. Необхідність поділу загальної суми відсотків між періодами виникає у бухгалтерському обліку, при оподаткуванні, фінансовому аналізі діяльності підприємства. Алгоритм поділу загальної маси відсотків очевидний (рис. 1.2). Якщо загальний термін позички захоплює два суміжні календарні періоди, причому на перший період припадає термінn1, на другий -n2, то

Змінні ставки. У кредитних угодах іноді передбачаються відсоткові ставки, що змінюються в часі. Якщо це прості ставки, то нарощена на кінець терміну сума визначається так:

(1.2)

деit -ставка простих відсотків у періодіt, t= 1,2. m;

nt -тривалість періоду;

Приклад 1.3. Контракт передбачає такий порядок нарахування відсотків: перший рік - ставка 16%, у кожному наступному півріччі ставка підвищується на 1%. Необхідно визначити множник нарощення за 2,5 роки. Знаходимо

Багато комерційних банків України практикують нарахування та виплату відсотків вкладника щокварталу або щомісяця, причому нарахування здійснюється за постійною або змінною (зростаючою) процентною ставкою. Для цього в контракті фіксується одна або низка річних ставок, виходячи з яких визначаються розміри квартальних або місячних ставок. Річні ставки у разі назвемономінальними.Наприклад, одне із великих комерційних банків 1994 р. залучав кошти населення, пропонуючинаступні змінні номінальні ставки для поквартального нарахування та виплат процентів: 165, 195, 240, 295%. Таким чином, за перший квартал виплачується 165 / 4 = 41,25%, за другий - 195/4 = 48,75% і т.д.

Реінвестування. У практиці при інвестуванні коштів у короткострокові депозити іноді вдаються до неодноразового послідовного повторення нарощення за простими відсотками в межах заданого загального терміну, тобто. дореінвестування(rollover) отриманих кожному етапі нарощення коштів. Нарощена сума для всього терміну становитиме в цьому випадку

деit- ставки, за якими проводиться реінвестування.

Якщо періоди нарахування та ставки не змінюються у часі, то замість формули (1.3) маємо:

деm- кількість реінвестицій.

тис. руб.

Нарахування звичайних відсотків дає

тис. руб.