Норма матриці

Норма матриці— норма в лінійному просторі матриць, як правило, певним чином пов'язана з відповідною векторною нормою (узгоджена [⇨] або підпорядкована [⇨] ).

Зміст

У разі квадратних матриць (тобтоm=n), матриці можна перемножувати не виходячи з простору, і тому норми в цих просторах зазвичай також задовольняють властивості субмультиплікативності2>:

Субмультиплікативність може виконуватися також і для норм неквадратних матриць, але визначених одночасно для кількох необхідних розмірів. Саме, якщо A — матрицяℓ×mі B — матрицяm×n, тоA B- матрицяℓ×n.

За умови узгодженого завдання норм на просторах векторів така норма є субмультиплікативною (див. вище).

Приклади операторних норм

• Матрична норма ‖ A ‖ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m a i j =\max \limits _\sum _^a_> , підпорядкована векторній нормі ‖ x ‖ 1 = ∑ i = 1 n x i =\sum _^x_> .
• Матрична норма ‖ A ‖ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n a i j =\max \limits _\sum _^a_> , підпорядкована векторній нормі ‖ x ‖ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n x i =\max \limits _x_> .
• Спектральна норма‖ A ‖ 2 = sup ‖ x ‖ 2 = 1 ‖ A x ‖ 2 = sup ( x , x ) = 1 ( A x , A x ) =\sup \limits _=1> \Ax\_=\sup \limits _>> , підпорядкована векторній нормі ‖ x ‖ 2 = ∑ i = 1 n x i 2 =^x_^>>> .

Властивості спектральної норми:

1. Спектральна норма оператора дорівнює максимальному сингулярному числу цього оператора.
2. Спектральна норма нормального оператора дорівнює абсолютним значенням максимального за модулем власного значення цього оператора.
3. Спектральна норма не змінюється примноженні матриці на ортогональну (унітарну) матрицю.

Існують норми матриць, що не є операторними. Поняття неоператорних норм матриць запровадив Ю. І. Любіч [3] та досліджував Г. Р. Білицький.

Приклад неоператорної норми

Векторна p-норма

Норма Фробеніуса

Норма Фробеніуса, абоевклідова нормаявляє собою окремий випадок p-норми дляp= 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 =^\sum _^a_^>>> .

Норма Фробеніуса легко обчислюється (порівняно, наприклад, зі спектральною нормою). Має наступні властивості:

• Узгодженість
• [⇨] : ‖ A x ‖ 2 ≤ ‖ A ‖ F ‖ x ‖ 2 \leq \A\_\x\_> , оскільки через нерівність Коші-Буняковського

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j x j 2 ≤ ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n a i j 2 ∑ j = 1 n x j 2 ) = ∑ j = 1 n x j 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . ^=\sum _^\left\sum _^a_x_\right^\leq \sum _^\left(\sum _^a_^\sum _^x_^\right)=\sum _^x_^\A\ _^=\A\_^\x\_^.>

• Субмультиплікативність: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F \leq \A\_\B\_> , оскільки ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j ∑ k a i k b k j 2 ≤ ∑ i , j ( ∑ k a i k b k j ) 2 ≤ ∑ i , j ( ∑ k a i k 2 ∑ k b k , j b k j 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 ^=\sum _\left\sum _a_b_\right^\leq \sum _\left(\sum _a_b_\right)^\leq \sum _\left(\sum _a_ ^\sum _b_^\right)=\sum _a_^\sum _b_^=\A\_^\B\_^> .
• ‖ A ‖ F 2 = t r ⁡ A ∗ A = t r ⁡ A A ∗ ^=\mathop > A^A=\mathop > AA^> де t r ⁡ A > A> - Слід матриці A , A ∗ & gt; - Ермітово-сполучена матриця.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 ^=\rho _^+\rho _^+\dots +\rho _^> , де ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n ,\rho _,\dots ,\rho _> - Сингулярні числа матриці A .
• ‖ A ‖ F > не змінюється при множенні матриці A ліворуч або праворуч на ортогональні (унітарні) матриці [5].

Максимум модуля

Норма максимуму модуля - інший окремий випадок p-норми дляp= ∞.

Норма Шаттена

Приклади узгоджених, але не підлеглих матричних норм:

---