НОУ ІНТУІТ, Лекція, Логіки цілком достатньо

5.2. Імплікація

Ще одна базисна операція, що належить основному репертуару: імплікація. Хоча вона схожа з іншими операціями not , or , and і еквівалентністю близька до операції or , вона вимагає особливої ​​уваги, оскільки деяким людям здається, що її точні властивості суперечать здоровому глузду та поняття прямування в природній мові.

Визначення

Найпростіший спосіб визначення операції implies у тому, щоб висловити їх у термінах вже певних операцій or і not .

Це тимчасове визначення. Пізніше буде надано ще одне визначення.

Наведене визначення дозволяє побудувати таблицю істинності (яка як така може бути визначенням).

a	b	a implies b
True	True	True
True	False	False
False	True	True
False	False	True

Неважко бачити, що це таблиця для or , у якій у стовпці для значення True і False помінялися місцями. Результат a implies b правдивий для всіх істиннісних привласнень, за винятком одного випадку, коли a дорівнює True , а b – False .

В імплікації a implies b перший операнд a називаєтьсяпосилкою(antecedent), другий, b , -наслідкомабоув'язненням(consequent).

Принципи, які були встановлені для кон'юнкції та особливо для диз'юнкції, мають прямий аналог і для імплікації.

Теорема: "Принцип Імплікації"

Імплікація має значення True одним винятком, коли посилка має значення True , а висновок – False .

Як наслідок, вона має значення True ,коли виконується одна з двох умов:

I1 посилка має значення False;

I2 висновок має значення True.

Зв'язок із висновками

Ім'я операції " implies " (тягне) передбачає, що цю операцію можна використовуватиме виведення одних якостей з інших. Це й справді припустимо, як і встановлюється наступної теореми.

Теорема: "Імплікація та виведення"

I3 Якщо істиннісне присвоєння задовольняє як a , і a implies b , воно задовольняє і b .

I4 Якщо обидва a та a implies b є тавтологіями, b – також тавтологія.

Доказ: Для доказу I3 розглянемо істиннісне надання TA, що задовольняє a . Якщо TA також задовольняє a implies b , воно має задовольняти і b , оскільки інакше з другого рядка істиннісної таблиці False слід було, що a implies b дорівнює False . Для доказу I4 зауважте, що якщо a та a implies b є тавтологіями , то попередній висновок поширюється на будь-яке істинне присвоєння TA.

Ця властивість робить законним нормальну практику виведення. Коли хочемо довести істинність властивості b , то вводимо більш " сильне " властивість a і доводимо незалежно істинність двох тверджень:

• a;
• a implies b.

Звідси випливає істинність b.

Використаний термін "сильніше" корисний у практиці обґрунтування контрактів у програмах і заслуговує на точного визначення.

Визначення: сильніше, слабше

Визначення припускають, що a і b не є еквівалентними, оскільки некоректно говорити, що a "сильніше" b якщо вони однакові. Для випадків можливої ​​рівності говоритимемо "сильніше або еквівалентно", "слабше або еквівалентно" (подібно до відносин над числами"більше", "більше або одно").

Практичне відчуття імплікації

Яким є зв'язок операції implies зі звичайним поняттям слідування, що виражається в природній мові таким словосполученням, як "Якщо …, то…"?

У повсякденному використанні імплікація найчастіше задає причинний зв'язок: "Якщо літо буде сонячним, то це буде удачею для виноградників Бургундії" - це припускає, що одна подія є причиною іншої. У логіці іmplies не асоціюється з причинністю. Імплікація просто встановлює, що коли одна властивість є істинною, такою має бути й інша властивість. Наведений приклад допускає таку інтерпретацію, якщо усунути будь-який натяк на причинність.

Ось ще один типовий приклад (в аеропорту Лос-Анджелеса при спробі зареєструватися на рейс до Санта-Барбари): "Якщо на вашому квитку надруковано "Рейс 3035", то сьогодні ви не летите". Ймовірно, причина скасування рейсу пов'язана з несправністю літака, і це був останній рейс на сьогоднішній день. Зрозуміло, що немає причинного зв'язку між тим, що надруковано на квитку, та скасуванням рейсу. Логічна операція implies передбачає такі сценарії.

Що дивує багатьох людей, так це властивість I1 принципу імплікації, що випливає з двох останніх рядків таблиці істинності. Коли a хибно, a implies b істинно, незалежно від значення b . Але насправді це відповідає звичайній ідеї імплікації:

1. "Якщо я губернатор Каліфорнії, то двічі по два - п'ять";
2. "Якщо двічі по два - п'ять, то я губернатор Каліфорнії";
3. "Якщо двічі по два - п'ять, то я не губернатор Каліфорнії";
4. "Якщо я губернатор Каліфорнії, то двічі по два - чотири";
5. "Якщо я губернатор Каліфорнії, то сьогодні йтиме дощ";
6. "Якщо сьогодні піде дощ, то я не будуобраний губернатором Каліфорнії.

Якщо я визнаю, що я не губернатор і не збираюся стати ним, то всі імплікації будуть істинними, незважаючи на сьогоднішню погоду.

З істинності імплікації випливає лише те, що якщо посилка вірна, то це правильне і для укладання. Єдиною можливістю для імплікації бути хибною є випадок справжньої посилки та хибного ув'язнення. Випадки, коли посилка хибна або висновок істинно, не визначають імплікацію повністю, залишаючи можливість невизначеності другого операнда.

Початківцям іноді важко прийняти, що a implies b може бути істинним, якщо a хибно. Багато в чому, я вважаю, труднощі пов'язані з випадком, коли a помилково, а b істинно, – таким, як випадки 1, 2, можливо, 5 і 6 з наведеного вище прикладу. Але нічого хибного в них немає. Нерозуміння може бути пов'язане із загальним спотворенням правил виводу, що допускається деякими людьми. З істинності імплікації a implies b і знаючи, що a не виконується, вони без роздумів вважають, що і b не виконується! Ось типові приклади:

1. "Всі професійні політики – корупціонери. Я не політик, тож я не корупціонер, і ви повинні голосувати за мене". Перше висловлювання щось стверджує про політиків, але воно не містить інформації про тих, хто не є політиками.
2. "Завжди, коли я беру з собою парасольку, дощ не йде. Я залишу свою парасольку вдома, оскільки нам так потрібен дощ". Жарт, звичайно, але логіка явно кульгає.
3. "Усі нещодавно збудовані будівлі в цьому районі мають погану термоізоляцію. Це стара будівля, так що в ній більш комфортно в спекотні дні".

Кожен із випадків включає властивість a, яке тягне іншу властивість b, і помилковий висновок, що заперечення a тягне заперечення b. Це неприпустимі висновки. Все, що мизнаємо: якщо a вірно, то й b вірно. Якщо ж нездійсненно, то імплікація нам нічого цікавого не додає. Переходячи на мову логіки: помилкове твердження, що вираз є тавтологією. Більш слабке твердження також не є тавтологією. Задайте два істинні присвоєння, при яких обидва твердження приймають значення True і False і, отже, є здійсненними, але не є тавтологіями .

---