Обертальний рух
Обертальним рухом називається такий рух тб. тіла, при якому залишаються нерухомими всі його точки, що лежать на деякій прямій, званій віссю обертання.
Інші точки рухаються в площинах перпендикулярних осі обертання та описують кола, центри яких лежать на осі обертання.
При обертанні тіла кут повороту є функцією часу,
Величина, що характеризує швидкість зміни кута повороту з часом називається кутовою швидкістю тіла. Її розмірність [c -1 ](радіан за секунду). Нині цей параметр називають частотою обертання.
Величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості з часом, називається кутовим прискоренням тіла.
Одиниця кутового прискорення [з -2] радіан на секунду у квадраті.
Рівняння рівномірного обертання.
Після інтегрування за часом від нуля до деякого часу отримаємо
=w; j-j0 = wt,
Число оборотів, що здійснюються тілом, що обертається за одиницю часу (зазвичай за хвилину), називається частотою обертання і позначається буквоюn.
Рівняння рівнозмінного руху.
Після інтегрування аналогічно вище викладеному отримаємо
Тут підwіe, розуміються значення алгебри відповідно кутової швидкості і кутового прискорення.
Рівняння (8-3) можна переписати у формі
Після інтегрування отримаємо
=w0+e;
Рівняння (8-4) називається рівнянням рівнозмінного обертання тіла.
Модуль окружної швидкості точки твердого тіла, що обертається
Точка тіла, що обертається, відчуває дотичне і нормальне прискорення.
Дотичне прискорення часто називають обертальним,воно одно
Нормальне прискорення спрямоване до центру і його зазвичай називають доцентровим. Його модуль дорівнює
Модуль повного прискорення дорівнює
w=( wn 2 + wt 2 ) 1/2 = R(e 2 + w 4 ) 1/2 .(8-8)
Обертання маховика в період пуску машини визначається рівняннямj=1/3t 3 .
Визначити модуль та напрямок прискорення точки на радіусі R= 50 cм та мить, коли її швидкість дорівнює 8 м/с.
w= dj/dt= t 2; e = d 2 j/dt 2 = 2t; u = Rw; w= u/R= 8/0,5=16 c -1;
t = w 1/2 = 16 1/2 = 4 c; e = 2 * 4 = 8 c; w e = Re = 0,5 * 8 = 4 m / c;
w w = Rw 2 = 0,5 * 16 2 = 128 m / c 2; w = [( w w ) 2 + ( w e ) 2 ] 1/2 = (4 2 + 128 2 ) 1/2 = 128,06 м/с 2 .
8.3 Плоский рух плоского тіла.
Плоським або плоскопаралельним рухом твердого тіла називається такий рух, при якому кожна точка тіла рухається в площині, паралельній деякій нерухомій площині.
Плоска фігура, утворена перетином тіла цією нерухомою площиною Q, весь час руху залишається в цій площині (рис. 8.1).
Розглянемо рух точок тіла, розташованих одному перпендикулярі до нерухомої площині Q. Точка М1 рухається у площині Q1, а точка М2- у площині Q2 ; обидві площини паралельні нерухомій площині Q.
Під час руху тіла відрізок М1М2 залишається перпендикулярним до вихідної площині, тобто. залишається паралельним своєму початковому положенню. Це означає, що всі точки цього перпендикуляра аналогічно точкам тіла, що рухається поступально, описують тотожні і паралельні траєкторії між собою і в кожен момент часу мають геометрично рівні швидкості і прискорення.
Т.к. положення плоскої фігури на площині цілком визначається положенням двох точок або положенням відрізка,що з'єднує дві точки, то положення плоскої фігури в її площині можна вивчати як рух прямолінійного відрізка у цій площині.
Переміщення фігури можна здійснити сукупністю двох переміщень: поступального та повороту.
Варіантів переміщень то, можливо стільки, скільки точок плоскої фігури, тобто. безліч.
Теорема. Швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса та обертальної швидкості цієї точки у обертальному русі фігури навколо полюса.
(Полюс-довільна точка плоскої фігури, щодо якої повертається фігура)
Виконаємо побудови як на рис. 8.2
Т.к. радіус-векторrOAз'єднує дві точки плоскої фігури, то весь час руху він обертається навколо полюса Про з кутовою швидкістю w , не змінюючись по модулю.
За весь час руху щодо О1 зберігається залежність
деdrO/dt=u О - швидкість полюса О.
Оскількиdr OA/dt- обертальна швидкість точки А навколо полюса, яку можна подати у вигляді
Наслідок 1.Проекції швидкостей точок плоскої фігури на вісь, що проходить через ці точки, рівні.
Нехай відома швидкістьuА точки А плоскої фігури, напрямок її обертання та модуль кутової швидкостіwфігури (Рис. 8.3).
Прийнявши точку А за полюс, визначимо швидкості точок і D плоскої фігури, що лежать на одній прямій з точкою А:
Причому обертальні швидкості цих точок навколо полюса А
uАВ= b1B1, uАD=d1D1 спрямовані перпендикулярно до відрізків АВ та AD у бік обертання фігури.
Проведемо вісьхчерез точки A, D, і спроектуємо швидкості цих точок на вісьх; тоді
тобто. проекції швидкостей усіх точок відрізка АВ на вісь х, спрямовану вздовж цього відрізка, рівні між собою.
Наслідок 2.Конці швидкостей точок незмінного відрізка лежать на одній прямій і ділять цю пряму на частини, пропорційні відстаням між відповідними точками відрізка.
Приклад 8.2. За заданою швидкістю однієї точки плоскої фігури побудувати годограф можливих швидкостей іншої точки цієї фігури.
Рішення. Проведемо через А і В вісьхі знайдемо проекціюАашвидкостіuА на цю вісь.
Зі слідства 1 проекція швидкостей точок А і В на цю вісь рівні. Відкладемо по осі х від точки В проекціюВb,рівну за величиною проекціїАаі збігається з нею у напрямку.
У точціbвідновимо перпендикуляр до осі х. Тільки на цій прямій і може перебувати кінець швидкостіuВ. Ця пряма є годографом можливих швидкостей точки.
8.4. План швидкостей.
Залежність між швидкостями точок плоскої фігури (рис.8.5) дозволяє визначати швидкості точок цієї фігури простою і наочною побудовою, що називається планом швидкостей .
Виконана побудова при відомих швидкостях точок A, B, C, D називається планом швидкостей; відрізкиОа, Ob, Oc, Od називаються променями, а точки a, b, c, d вершинами плану швидкостей.
З трикутника aOb
Ob = Oa + ab
Зі зіставлення (а) і (б) встановлюємо, щоab= uАВ ; аналогічно
Отже,кожен із відрізків, що з'єднують вершини плану швидкостей, геометрично дорівнює обертальній швидкості відповідної точки навколо іншої точки як навколо полюса.
і т.д. Звідси випливає, що багатокутникabcdподібний до багатокутникаABCDі повернутий відносноостаннього на 90° у бік обертання плоскої фігури, що рухається.
Для побудови плану швидкостей припустимо, що відомі модуль і напрямок швидкості точки А (рис. 8.6) і пряма, за якою спрямована швидкість іншої точки фігури.
З довільної точки О-полюса проведемо відрізокОа =uА і пряму, паралельну до прямої, по якій спрямована швидкістьuВ (рис.8.6). Відомо, що відрізки, що з'єднують вершини плану швидкостей, перпендикулярні до відрізків, що з'єднують відповідні фігури.
Для визначення вершиниbпроведемо з вершиниапряму, перпендикулярну до АВ; точка перетину її з прямою, по якій спрямована швидкість точки, і є вершиноюb, а відрізок Ob визначить швидкість точки, тобто.Ob =uВC
Для отримання вершинизплану швидкостей слід провести з вершинa, bпрямі, перпендикулярні сторонам трикутника АС і ВС. Точка їх перетину і буде вершиноюс, а відрізокОс визначить швидкість точкис.
Аналогічно можна визначити швидкість будь-якої точки плоскої фігури, з'єднавши її із двома точками, швидкості яких вже відомі.
Відкладаючи відрізкиОа, Ob та ін., слід мати на увазі, що їх модуль дорівнює відповідній швидкості в деякому співвідношенні. Наприклад,