Описане коло

Описана колобагатокутника - коло, що містить всі вершини багатокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.

Зміст

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить у точці перетину серединних перпендикулярів до його сторін. Як наслідок: якщо біля n-кутника описано коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).
Біля будь-якого правильного багатокутника (всі кути і сторони рівні) можна описати коло, і до того ж лише одну.
Навколо кожного трикутника може бути описано єдине коло.

Рівняння кола

Рівняння описаного кола можна виразити через декартові координати вершин вписаного до неї трикутника. Припустимо, що

є координатами вершинA,BіC. Тоді коло - геометричне місце точокv= (vx,vy), в декартовій площині, що задовольняють рівнянням

гарантують те, що вершиниA,B,C, іvзнаходяться на тій самій відстаніrвід загального центруuкола. Використовуючи поляризаційну тотожність, ці рівняння можна звести до умови, що лінійне відображення, що задається матрицею

має ненульове ядро. Таким чином, описане коло може бути описано як безліч нулів визначника цієї матриці:

Розкладаючи цей визначник по першому рядку та вводячи позначення

ми наводимо рівняння кола до видуav2 − 2Sv−b= 0, або, припускаючи, що точкиA,B,Cне лежали на одній прямій (інакшеколо вироджується в пряму лінію, яка також може розглядатися як узагальнене коло з центромSна нескінченності),v−S/a2 =b/a+S2 /a2 , виражаючи центр кола якS/ата її радіус як √(b/a+S2 /a2 ). Подібний підхід дозволяє вивести рівняння сфери, що описана навколо тетраедра.

Параметричне рівняння

Одиничний перпендикулярний вектор до площини, що містить коло дається у вигляді

Трилінійні та барицентричні координати кола

Рівняння кола в трилінійних координатахx:y:zє [1] :p. 199a/x+b/y+c/z= 0 . Рівняння кола в барицентричних координатах єx:y:zisa2 /x+b2/y+c2/z= 0 . Ізогональне сполучення кола є нескінченно віддалена пряма, що записується в трилінійних координатах у виглядіax+by+cz= 0 і в барицентричних координатах у виглядіx+y+z= 0 .

Координати кола центру

Декартові координати центру

Декартові координати центру описаного кола є

Без обмеження спільності це можна висловити у спрощеному вигляді після переведення вершиниAна початок координат декартової системи координат, тобто колиA′ =A−A= (A′x,A′y) = (0,0) . У цьому випадку координати вершинB′ =B−AіC′ =C−Aє векторами з вершиниA′ до цих вершин. Зауважимо, що цей тривіальний переклад можливий для всіхтрикутників і координат центру описаного кола трикутникаA′B′C′ у наступному вигляді:

Трилінійні координати центру

Центр описаного кола має трилінійні координати [1] :p.19

деα,β,γвнутрішні кути трикутника. У термінах сторін трикутникаa, b, cтрилінійні координати центру описаного кола мають вигляд [2]

Барицентричні координати центру

Барицентричні координати центру описаного кола мають вигляд

sin ⁡ 2 α : sin ⁡ 2 β : sin ⁡ 2 γ .

Вектор центру описаного кола

Так як декартові координати будь-якої точки є середньозваженими тих вершин, зі своїми вагами, то барицентричні координати точки нормуються в сумі одиницею, тоді вектор центру описаного кола можна записати у вигляді

ТутUє вектор центру описаного кола,A, B, Cє векторами вершин. Дільник тут дорівнює 16S2, деS- площа трикутника.

Для трикутника

Біля трикутника можна описати коло, причому лише одну. Її центром буде точка перетину серединних перпендикулярів або медіатріс.

На малюнку показані рівні кути у трикутника, вписаного в коло.

Кути, що утворюються описаним колом зі сторонами трикутника, збігаються з кутами, які утворюють сторони трикутника, з'єднуючись один з одним у вершинах. Сторона, протилежна розі α, двічі стосується кола: один раз на кожному кінці; у кожному випадку під однаковим кутом (див. рис.) (аналогічно для двох інших кутів). Це пов'язано з теоремою про відрізок кола, додатковому даному (the alternate segment theorem,), в якій говориться, що кут міждотичною і хордою дорівнює вписаному в коло кутку, що спирається на цю хорду.

Трикутні центри на колі, описаному біля трикутника ABC

У цьому параграфі вершини кутів позначені якA,B,Cі всі координати є трилінійними координатами. Наступні точки на колі, описаному біля трикутника ABC:

Точка Штейнера =b/ (b2 −c2 ) :ca/ (c2 −a2):ab/(a2−b2) = невершинна точка перетину описаного кола з еліпсом Штейнера. (Еліпс Штейнера з центром, розташованим у центроїді трикутникаABCявляє собою еліпс з найменшою площею з усіх, що проходять через вершиниA,BіC.Рівняння еліпса Штейнера має вигляд: 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0.)
Точка Таррі (Tarry point) = sec (A+ ω) : sec (B+ ω) : sec (C+ ω) = диметрально протилежна точці Штейнера
Фокус параболи Кіперта (Kiepert parabola) = csc (B−C) : csc (C−A) : csc (A−B). (Див. рис.)

Перспектори вписаних у трикутник парабол лежать на описаному еліпсі Штейнер [4] . Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр [5] . Парабола, вписана в трикутник, що має директрису пряму Ейлера, називаєтьсяпараболою Кіперта. Її перспектор - четверта точка перетину описаного кола та описаного еліпса Штейнера, званаточкою Штейнера.

Теорема Лестера[6] . У будь-якому різносторонньому трикутнику дві точки Торрічеллі, центр дев'яти точок та центр описаного кола лежать на однійкола (кола Лестера).

Властивості центру описаного кола трикутника

У гострокутного трикутникацентр описаного колалежить усередині, у тупокутного — поза трикутником, у прямокутного — на середині гіпотенузи.

Позначаємо буквоюОточку перетину серединних перпендикулярів до його сторін і проведемо відрізкиОА,ОВіОС. Оскільки точкаОрівновіддалена від вершин трикутникаАВС, тоОА=OB=ОС. Томуколоз центромОрадіусуОАпроходить через всі три вершини трикутника і, отже, єописаною біля трикутника ABC.

Центрописаного колаізогонально пов'язанийортоцентру.
3 з 4 кіл, описаних щодо серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.
Центр описаного біля трикутника коласлужить ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника (званого додатковим трикутником).
Відстань від вершини трикутника до ортоцентру вдвічі більша, ніж відстань відцентру описаного коладо протилежної сторони.
Математично останнє твердження означає, що

Формули радіусу описаного кола

Положення центру описаного кола

Рівняння описаного кола

Координати центру описаного кола можуть бути обчислені

У явному вигляді координати центру кола визначаються за формулами:

Теорема про тризубцяаботеорематрилисника, аботеорема Клайнера: Якщо D — точка перетину бісектриси кута A з описаним колом трикутника A B C , I і J — відповідно центри вписаного та вписаного кола, що стосується сторони B C , тоді D I = D B = D C = DJ.
Теорема Мансіона. Відрізок, що з'єднує центри вписаного та вписаного кіл трикутника, ділиться описаним колом навпіл.
Теорема Мансіона(продовження). Середина дуги A C описаного кола трикутника A B C , що не містить вершину B , рівновіддалена від вершин A і C , центру I вписаного кола та центру I 2 вписаного кола. Середина дуги A C описаного кола трикутника A B C , що містить вершину B , рівновіддалена від вершин A і C і центрів I 1 > і I 3 <не вписанихкіл.
Кільцево-чевіанним трикутникомназивають трикутник з вершинами у других точках перетину трьох прямих, проведених через вершини подерного трикутника і дану точку P , з описаним колом.Теорема.Кільцево-чевіаннийтрикутник подібнийподерному(Доказ у: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130).
Теорема Сімсона: Основи перпендикулярів, опущених з точки P описаного кола трикутника ABC на його сторони або їх продовження, лежать на одній прямій. Ця пряма називається прямою Сімсона.
Відповідно до теореми Лестерацентр дев'яти точок лежить на одному колі (на колі Лестера) разом з трьома іншими точками - двома точками Торрічеллі і центром описаного кола [6] .
Пряма Ейлера проходить через: 1) Центроїд трикутника, 2) Ортоцентр трикутника, 3)центр описаного кола, 4) Центр кола дев'яти точок та іншівідомі точки (див. Пряма Ейлера).

Формула Ейлера: Якщо d — відстань між центрами вписаного та описаного кіл трикутника, а їх радіуси рівні r і R відповідно, то d 2 = R 2 − 2 R r =R^-2Rr> .

Або через сторони трикутника:

d = O I = R a 3 − a 2 b − a b 2 + b 3 − a 2 c + 3 a b c − b 2 c − b c 2 − a c 2 + c 3 a b c -a^b-ab^+b^-a ^c+3abc-b^c-bc^-ac^+c^>>>> ,

Відстань від центруOдо ортоцентруHє [8] [9] :p. 449

O H = R 2 − 8 R 2 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C = 9 R 2 − (a 2 + b 2 + c 2 ). -8R^\cos A\cos B\cos C>=-(a^+b^+c^)>>.>

Для центроїдуGта центру дев'яти точокNмаємо:

I G I O , =2R\cdot IN.

Добуток радіусів описаного та вписаного кіл трикутника пов'язаний зі сторонамиa,bіcу вигляді [10] : p. 189, # 298 (d):

r R = a b c 2 (a + b + c). >.>

Якщо медіанаm, висотаhі внутрішня бісектрисаtвиходять з однієї і тієї ж вершини трикутника, біля якого описано коло радіусаR, тоді [11]: p.122, # 96

4 R 2 h 2 (t 2 - h 2) = t 4 (m 2 - h 2). h^(t^-h^)=t^(m^-h^).>

Центр описаного кола ізгонально пов'язаний з ортоцентром.
Перпендикуляри, відновлені до сторін трикутника в точках дотику до вписаних кіл, перетинаються в одній точці. Ця точка симетрична центру вписаного кола щодо центру описаного кола [12] .
У трикутнику є три кола, які стосуються двох сторін трикутника та описаного кола. Такі кола називаютьнапіввписанимиабоколоми Верр'єра. Відрізки, що з'єднують вершини трикутника тавідповідні точки дотику кіл Верр'єра з описаним колом, перетинаються в одній точці, званійточкою Верр'єра. Вона служить центром гомотетії, яка переводить описане коло ввписане. Точки торкання кіл Верр'єра зі сторонами лежать на прямій, яка проходить через центрвписаного кола.