Параметричні рівняння - Студопедія
Криві можна представляти аналітично, тобто як графік функції та графічно. Математики записують це у вигляді: y = f(x), що означає "у - це функція, значення якої залежить від значення х. Наприклад, найпростіша функція у = 2х означає просту залежність: кожне значення у в два рази більше за будь-яке значення х. p align="justify"> Графік цієї функції є пряма лінія, що проходить через початок координат (рис. 1.1).
Більш складний вид є тригонометричними функціями, наприклад синусоїда: у = sin х
Графік такої кривої відомий кожному (рис. 1.2).
Такий спосіб представлення функції та її графіка називають явним. Він дозволяє відносно просто будувати графік. Проте цей спосіб з погляду графічного уявлення є істотні недоліки.
- Кожному значеннюх відповідає лише одне значенняу. Це не дозволяє починати новий фрагмент кривої в довільному місці.
- Крива не може бути замкненою.
В результаті явний спосіб подання не можна застосовувати там, де потрібно опис довільних кривих, що розміщуються у довільних місцях площині.
Альтернативний спосіб – визначення кривої як параметричної функції.
Такий спосіб обидві координати (х і у) рівноправні, т. е. обидві координати обчислюють як функції деякого допоміжного параметра, що позначається, часто символом t. У загальному випадку така залежність набуває вигляду:
де х(t) та y(t) – функції параметра t.
Задаючи однакові значення t, функція x(t) обчислює значення координати х, а функція y(t) – значення координати у. Це дуже важлива особливість завданняфункції.
Знайомий приклад. Можна припустити, що значення параметра t – це відліки часу, протягом якого відбувається переміщення певної частки вздовж довільної кривої, наприклад кола. Параметрична функція q(t) дозволить отримувати пари координат , якими переміщується точка в різні моменти (значення) часу t. Хоча, у випадку, не обов'язково параметр t пов'язувати з часом.
Друга важлива якість параметричних кривих у тому, що вони мають різноманітні форми, ніж це дозволяють явні рівняння.
Ще приклад. Графіки синусоїди та косінусоїди в явному вигляді не дозволяють замкнути лінію, а дві параметричні функції
y(t)= sint
створюють коло, якщо t "пробігає" значення між 0 та 360 градусів.
Довідка. Параметричне уявлення функції – це вираження функціональної залежності між декількома змінними введенням допоміжних змінних, які прийнято називати "параметрами". Якщо ми маємо дві змінні, наприклад, по осі х і по осі у, то залежність між ними можна розглядати як рівняння плоскої кривої. Наприклад, координати х і у точок цієї кривої визначаються якимось параметром, скажімо, величиною t, яку визначають як певний діапазон безперервних чи дискретних значень. Особливо важливим є таке уявлення для просторових кривих, оскільки забезпечує легший спосіб побудови графіків.
Застосування параметричних функцій дозволяє застосовувати більш складні функції, а не тільки лінійну апроксимацію, оскільки один з основних недоліків апроксимації прямими полягає в утворенні кутових вигинів, які не створюють враження гладкості. Тому неминучою заміною прямолінійним сегментам можутьбути тільки криві, які здатні забезпечити необхідну гладкість (забігаючи вперед, можна сказати, що йдеться про криві Безье і NURBS-криві, що найчастіше застосовуються в комп'ютерній графіці). Але спочатку точніше визначимо поняття гладкості.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно