Phorum - Теорія ймовірностей та математична статистика - Що таке - ергодичний - стан

Що таке "ергодичний" стан?

Може, хтось знає. Зустрілося стосовно кінцевих автоматів, але термін начебто з математики (фізики?).

У пошукових системах виразного визначення не знайшов.

Re: Що таке "ергодичний" стан?

Автор: Natalia Chernova (---.nsk.su) Дата: 16 Apr. 2006 17:45

Ну термін, взагалі кажучи, не надто уживаний. Думаю, спочатку в ланцюгах Маркова з кінцевою чи лічильною безліччю станів його можна трактувати так. Нехай ЦМ, тобто. послідовність X(n) з кінцевою або лічильною безліччю станів, що задовольняє марківській властивості: P(X(n+1) = i(n+1) X(0)=i(0). X(n) = i (n)) = P(X(n+1) = i(n+1) X(n) = i(n)). Багато її станів можна розбити на несуттєві (які ланцюг рано чи пізно залишає) і суттєві. Істотні, своєю чергою, діляться на класи сполучених між собою: між класами повідомлення туди-сюди немає, тобто. потрапивши в один клас колись, ланцюг там і крутитиметься. Якщо сполучені стани утворюють один клас, то за деяких додаткових умов справедлива ергодична теорема: для будь-якого стану j ланцюга та будь-якого початкового стану i ланцюга межа ймовірностей, вийшовши з i, потрапити через n кроків у j, зі зростанням n сходить до деякої граничної ймовірності: p_(n) -> p(j) всім i. При цьому для несуттєвих станів j ця межа нульова, для суттєвих - ненульова. Число p(j) є "фінальна" можливість виявити в нескінченно далекий момент часу ланцюг у стані j. Думаю, саме стан j, якому відповідає ненульова фінальна ймовірність, і називається ергодичним. Для ергодичної ЦМ такими станами будуть всі з єдиного класу суттєвих ісполучених між собою станів. А ось несуттєві – не будуть.

Це, звичайно, гіпотеза, але з 95% упевненістю :)

Re: Що таке "ергодичний" стан?

Автор: Pavel (---.feosky.net) Дата: 16 Apr. 2006 19:33

Тобто стан, в який система після певної великої (нескінченної) кількості переходів не повернеться - точно не ергодичний.

Стан, в який система обов'язково періодично потраплятиме після нескінченної кількості переходів - ергодичний.

Я правильно зрозумів?

2N.Ch.

Автор: Griffon (---.iis.nsk.su) Дата: 16 Apr. 2006 20:31

Для ергодичної ЦМ такими станами будуть всі з єдиного класу суттєвих і сполучених між собою станів. А ось несуттєві – не будуть.

Наскільки мені відомо, ергодична теорема говорить про те, що для того, щоб Ланцюг Маркова була ергодичною,необхідноі достатньо, щоб вона була (А)Нерозкладнаі неперіодична (Б) Існує стан E_0 такий, що час повернення до E_0 в E_0 (тобто mathbb

\ = f_0(n)) має кінцеве математичне очікування mathbb\xi

Таким чином, ланцюг, що не є нерозкладним, не може бути ергодичним. А наскільки мені відомо, нерозкладність ланцюга унеможливлює присутність у ній несуттєвих станів. Отже, в ергодичній ЦМ за введеним Вами визначенням, всі стани завжди будуть ергодичними? А сенс?

Re: 2N.Ch.

Автор: Natalia Chernova (---.nsk.su) Дата: 16 Apr. 2006 23:08

2Pavel: про ергодичне: майже так, але не просто"періодично потрапляти", а ще й циклічність треба виключити. Тобто, наприклад, ланцюг, в парні моменти часу, що сидить у парній точці 2n, в непарні - в непарній, не має ні для якої такої точки межу ймовірності "в ній опинитися у великий момент часу".

2Griffon: А чому може стати на заваді наявність несуттєвих станів? Адже ланцюг про них забуде незабаром :)

Re: 2N.Ch.

Автор: Griffon (---.iis.nsk.su) Дата: 16 Apr. 2006 23:12

А я не знаю. Не виникає жодних проблем з тим, що кількість несуттєвих станів може бути нескінченною? Або тоді давайте все-таки зійдемося на тому, що ланцюг, що не розкладається, може містити непустий клас S_0. :) Востаннє, коли я у Вас із цього приводу питав, Ви сказали, що не може. :)

Неправда Ваша

Автор: Natalia Chernova (---.nsk.su) Дата: 16 Apr. 2006 23:16

Я сказала, що на нього можна забити :)

Не знаю не знаю

Автор: Griffon (---.iis.nsk.su) Дата: 16 Apr. 2006 23:18

Треба буде наступного разу вуха краще чистити.

Re: Не знаю, не знаю

Автор: Natalia Chernova (---.nsk.su) Дата: 17 Apr. 2006 01:03

Димитрій, у теоремі, яку Ви цитуєте, ключове слово "позитивні" граничні ймовірності. Якщо є несуттєві стану, то відповідні ймовірності нульові.

Link на теорію

Автор: Pavel. (213.179.225.---) Дата: 29 Apr. 2006 18:24

Сьогодні набрав випадково на матеріал,прояснив все по заданому мною питанню. Може, кому знадобиться. Посилання:

---