Підготовка школярів до ЄДІ у навчальному центрі «Резольвента» (Довідник з математики - Елементи

Певний інтеграл як площа криволінійної трапеції

Похідна від певного інтеграла по верхній межі

Теорема Ньютона - Лейбніца

Приклади розв'язання задач

Певний інтеграл як площа криволінійної трапеції

Розглянемо на площині прямокутну систему координат Oty, вісь абсцис якої в даному розділі позначатимемо Ot, а не Ox (рис. 1).

Нехай y = f (t) – безперервна на відрізку [a, b] функція, що набуває лише позитивних значень.

Визначення 1. Фігуру, обмежену графіком функції y = f(t) зверху, відрізком [a, b] знизу, а праворуч і ліворуч відрізками прямих t = a та t = b (рис. 2), називають криволінійною трапецією.

Визначення 2. Число, що дорівнює площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 2, називають певним інтегралом від функції f (t) в межах від a до b і позначають

(1)

Формула (1)читається так : "Інтеграл від a до b від функції f (t) по dt"

Визначення 3. У формулі (1) функцію f (t) називають підінтегральною функцією, змінну t називають змінною інтегрування, відрізок [a, b] називають відрізком інтегрування, число b називають верхньою межею інтегрування, а число a – нижньою межею інтегрування.

Похідна від певного інтеграла по верхній межі

Якщо позначити S(x) площу криволінійної трапеції, обмеженої з боків відрізками прямих t = a та t = x (рис. 3),

то буде справедлива формула

(2)

Теорема 1. Похідна від певного інтеграла поверхній межі інтегрування дорівнює значенню підінтегральної функції у верхній межі інтегрування.

Іншими словами, справедлива формула

Доведення. З формули (2) випливає, що

(3)

де через Δx позначено збільшення аргументу x (рис. 4)

З формул (3) та (2) отримуємо, що

(4)

де через ΔS позначено збільшення функції S (x), відповідне збільшенню аргументу Δx (рис. 5)

Якщо ввести позначення

(див. розділ «Найбільше та найменше значення функції на відрізку»), то можна помітити, що виконано нерівність

(5)

сенс якого полягає в тому, що площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 5, не може бути меншою, ніж площа прямокутника з основою Δx і висотою m, і не може бути більшою, ніж площа прямокутника з основою Δx і висотою M.

З нерівності (5) випливає, що

З огляду на безперервність функції y = f (t) виконано рівність

(6)

що й завершує підтвердження теореми 1.

Наслідок 1. Функція S (x) є первісною підінтегральною функцією f (x) .

Теорема Ньютона - Лейбніца

Теорема Ньютона-Лейбніца. Якщо F(x) – будь-яка первісна функції f(x), то справедлива рівність

(7)

S(x) = F(x) + c

(8)

Скориставшись рівністю (8), з формули (2) отримуємо, що

(9)

Підставивши у формулу (9) значення x = a отримуєморівність

(10)

(11)

оскільки площа криволінійної трапеції, що «схлопнулася» у відрізок, що лежить на прямій t = a, дорівнює 0 .

З формул (10) і (11) випливає, що

і формула (9) набуває вигляду

,

що й завершує доказ теореми Ньютона-Лейбніца.

Примітка 1. Формулу (7) часто записують як

(12)

і називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Зауваження 2. Для правої частини формули Ньютона-Лейбніца часто використовуютьпозначення

Примітка 3. Формулу Ньютона-Лейбніца (12)можна записувати, як із змінної інтегрування t , так із будь-якої іншої змінної інтегрування, наприклад, x :

Примітка 4.Всі визначення і теореми залишаються справедливими не тільки у разі позитивних безперервних функцій f (x), але і для набагатоширшого класу функцій, що мають довільні знаки та інтегруються за Ріманом, проте цей матеріал вже виходить за межі шкільного курсу математики.

Приклади розв'язання задач

Завдання 1. Знайти площу фігури, обмеженою лініями

Рішення. Розглянута фігура є криволінійною трапецією (рис. 6)

Відповідь.

Завдання 2. Графік функції y = f (x) зображено малюнку 7.

(13)

Рішення. Інтеграл (13) дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y = f (x), обмеженою знизу віссю абсцис Ox і обмеженою з боків відрізками прямих x = 2 і x = 9. Криволінійна трапеція складається з квадрата, розфарбованого на малюнку 7 рожевим кольором, і трапеції,розфарбованою на малюнку 7 зеленим кольором. Площа квадрата дорівнює 9, а площа трапеції дорівнює 20. Отже, інтеграл (13) дорівнює 29.

(14)

Рішення. Оскільки однією з первісних підінтегральних функцій інтеграла (14) є функція

то відповідно до формули Ньютона-Лейбніца отримуємо

Відповідь.

На нашому сайті можна також ознайомитись із розробленими викладачами навчального центру «Резольвента» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики.

Запрошуємо школярів (можна разом із батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики та навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».

Для школярів, які бажають добре підготуватися та здати ЄДІ з математики чи української мови на високий бал, навчальний центр «Резольвента» проводить

---