Плоскі криві
1. Історія вивчення плоских кривих
Поняття лінії визначилося у свідомості людини у доісторичні часи. Траєкторія кинутого каменю, струмінь води, промені світла, обриси квітів і листя рослин, звивиста лінія берега річки і моря та інші явища природи привертали увагу наших предків і, спостерігаються багаторазово, стали основою поступового встановлення поняття лінії.
Однак був потрібний великий історичний період, перш ніж люди стали порівнювати між собою форми кривих ліній і відрізняти одну криву від іншої. Перші малюнки на стінах печерного житла, примітивні орнаменти, що прикрашали домашнє начиння, свідчать про те, що люди навчилися вже не тільки відрізняти пряму від кривої, а й розрізняти форми окремих кривих і в їх поєднаннях знаходити задоволення естетичних потреб, що зароджуються. Але все це було ще далеко від того абстрактного розуміння лінії, яке має математика зараз.
Щоправда, історичні пам'ятки давнину показують, що в усіх народів на певному щаблі їх розвитку було поняття кола, не кажучи вже про пряму лінію. Використовувалися примітивні інструменти для побудови цих ліній і були спроби вимірювати площі, що обмежуються прямими та коло. Як видно, наприклад, з найдавнішого пам'ятника математичної культури – «папірусу Рінда», єгиптяни за 17 – 20 століть до початку нашої ери займалися квадратурою кола та отримали досить гарне наближення для числа p, що дорівнює
Грецькі вчені створили теорію конічних перерізів - ліній, що мають особливо велике значення в науці та техніці. Відкриття їх приписується Менехму (4 століття е.), учневі Евдокса Книдского і, як вважають, вчителю Олександра Македонського. Менехм визначав цікриві як перерізи конуса площиною, перпендикулярною до його твірної.
Що стало приводом для цього відкриття? Можливо, пошуки вирішення знаменитого ділового завдання про подвоєння куба, можливо практичне питання, наскільки має бути витягнутий овал, що у ролі архітектурного споруди на фронтоні будівлі, щоб із відомого місця перед будівлею він здавався кругом.
Є дані вважати, що Менехм знав властивості параболи і гіперболи, що виражаються у наші дні рівностями y 2 =2px і xy=c, і використовував ці властивості для ділового завдання подвоєння куба. На жаль, цей перший твір з теорії конічних перерізів було втрачено. Також не дійшла до нас робота грецького геометра Арістея, який написав п'ять книг про просторові місця», з яких багато запозичив Евклід для своєї також втраченої роботи про конічні перерізи.
Архімед вирішив завдання про квадратур сегмента параболи. Порівнюючи фігури, вписані в еліпс і в коло, побудоване на великій осі еліпса як на діаметрі, він визначив і площу еліпса.
Однак усі відомості про конічні перерізи були ще розрізнені. Перша методична обробка конічних перерізів належить Аполлонію Пергському (3 – 2 в. е.). Це був трактат «Про конічні перерізи». У своєму трактаті Аполлоній систематизував все, що було до нього відомо, і відкрив ряд важливих властивостей, встановив їх назви.
Але не лише конічні перерізи відкриті греками. Ряд математиків у пошуках вирішення великих проблем давнини – завдання про трисекцію кута, про подвоєння куба та про квадратуру кола – використав для утворення кривих ідею руху. Так виникли спіраль Архімеда, циклоїду, квадратрису Динострату. У той самий час початковий метод – утворення кривих шляхом розтину поверхні площиноюбув використаний для утворення кривих Персея як перерізів тора.
У період середньовіччя великі досягнення грецьких вчених було забуто.
До кривих математична наука звернулася лише у 17 столітті, у зв'язку зі створенням аналітичної геометрії.
1637 - одна з великих дат в історії математики - рік появи книги Р. Декарта "Геометрія", в якій були викладені основи методу координат. Відкриття цього для дослідження кривих було фактом першорядного значення. Метод координат не тільки створив загальний, одноманітний спосіб символічного завдання кожної кривої у вигляді відповідного їй рівняння, він давав також необмежену можливість безмежно збільшувати кількість кривих, що досліджуються, оскільки кожне довільно записане рівняння, що зв'язує між собою дві змінні величини, представляло тепер, взагалі кажучи, нову криву.
Відкриття методу координат підготувало своє чергу відкриття могутнього методу науки – обчислення нескінченно малих. Народження диференціального та інтегрального обчислення мало особливо важливе значення для вивчення властивостей кривих. У зв'язку з численними проблемами механіки, астрономії, геодезії, оптики, що виникли у 17 – 18 ст, стимулювали інтерес до дослідження інфінітезимальних властивостей ліній. Ці проблеми спричинили відкриття нових ліній. Роберваль і Паскаль показують, що дуга спіралі Архімеда дорівнює дузі параболи, обраної певним чином і що, отже, завдання спрямування спіралі ідентична задачі спрямування параболи. Ферма узагальнює цю пропозицію на спіральні алгебри вищих порядків, встановлюючи, що їх спрямування зводиться до спрямування парабол вищих порядків. Нейль відкриває криву алгебри, яка спрямовується алгебраїчно (парабола Нейля). На той же часвідноситься випрямлення логарифмічної спіралі, виконане Торічеллі, випрямлення епі-і гіпоциклоїд, виконане Де ла Гіром. Фаньяно в 1714 році, досліджуючи питання про випрямлення лемніскат, заклав основи теорії еліптичних функцій.
Поруч із дослідженням геометричних властивостей кривих досліджуються та його механічні властивості. Гюйгенс відкриває ізохронність циклоїдів. І. Бернуллі показує, що циклоїд є брахистохроною в порожньому просторі. Досліджуються механічні властивості параболи Нейля, ланцюгової лінії, овалів Кассіні, овалів Декарта та цілого ряду інших тепер добре відомих кривих.
Не тільки практичні потреби століття – запити промисловості, конструювання машин і механізмів, будівництво гребель та шлюзів – постійний та глибокий інтерес до дослідження кривих у цих вчених, а й та «радість споглядання форми», яка, за словами Клейна, характеризує справжнього геометра.
Захоплення аналітичним методом дослідження кривих, особливо притаманний 17 століття, з часом викликало реакцію з боку деяких учених. Як недолік цього зазначалося та обставина, що його не розкриває природного походження кривої, оскільки об'єктом дослідження фактично не сама крива, а відповідне їй рівняння. Плідні спроби повернутися до синтетичного методу древніх породили новий напрямок у дослідженні властивостей кривих другого порядку. Перші здобутки тут пов'язуються з іменами Дезарга та Паскаля. Дезарг, досліджуючи проектні властивості фігур і використовуючи встановлене ним поняття інволюції, збагатив теорію кривих другого порядку новими відкриттями. Пскаль відкриває свою знамениту теорему про співвідношення між шістьма точками конічного перерізу, згідно з якою у кожному шестикутнику, вписаному вкриву другого порядку точки перетину протилежних сторін лежать на одній прямій. Де ла Гір приходить до важливої пропозиції про те, що директор кривої другого порядку є полярою її фокусу.
Нові методи дослідження властивостей кривих другого порядку розвиваються у 19 столітті. Бріаншон доводить теорему, подвійну теоремі Паскаля, і вивчає проектні властивості гіперболи. Понселе досліджує криві другого порядку за допомогою відкритого методу проективних відповідностей. Штейнер і Шаль досліджують проективні властивості цих кривих на основі поняття подвійного відношення та розглядають їх як похідні від образів першого ступеня.
Критика аналітичного методу дослідження форми та властивостей кривих була заснована, як було вже сказано, на тій обставині, що при користуванні цим методом відсутній наочний образ цієї кривої та зникають геометричні побудови. Вона доповнювалася та іншими міркуваннями. Вказувалося, що система координат є стороннім елементом дослідження, з яким крива штучно зв'язується.
Ці погляди повели з одного боку, до створення так званої геометрії алгебри, основи якої були закладені Гессе і Клебшем. Дослідження властивостей кривих зводилося до дослідження інваріантів алгебраїчних форм.
Найбільшим досягненням цього напряму у дослідженні кривих було створення загальної теорії кривих алгебри. Особливі досягнення у розвитку цієї теорії пов'язуються з ім'ям Плюккера. Проте в геометрії алгебри повністю відмовитися від системи координат як стороннього елемента все-таки не вдалося.
Інший напрямок призвів до уявлення про так зване натуральне рівняння кривої. Натуральне рівняння не залежить від становища системи координат і від її виду; точнішекажучи, воно передбачає взагалі наявності системи координат. Це рівняння функціонально пов'язує радіус кривизни кривої та довжину її дуги, тобто. ті елементи, які органічно пов'язані з природою досліджуваної лінії. Було доведено, що натуральне рівняння повністю визначає криву з точністю до положення на площині. Найбільших успіхів цей напрямок дослідження кривих досяг у роботах Чезаро, який привласнив йому назву внутрішньої чи натуральної геометрії.
На закінчення про плідну ідею використання векторного апарату при дослідженні властивостей ліній, яка пов'язується з ім'ям Грассмана, та про топологічний метод дослідження кривих, що мають найбільш складні форми.