Подання цілих чисел за допомогою числа пі
Подання цілих чисел за допомогою числа "пі"
У добре відомої задачі про те, як записати різні цілі числа за допомогою чотирьох однакових чисел (наприклад, четвірок), існує маса різних різновидів. В одному з досить захоплюючих варіантів цього завдання, запропонованому Ф. Чині, для представлення різних цілих чисел допускається використовувати тільки число π, знаки складання, віднімання, множення, поділу та вилучення квадратного кореня, а також символ функції цілої частини від х (антье від х: [x] - найбільше ціле число, що не перевищує х).
Крім того, можна користуватися круглими дужками, як у алгебрі; ніякі інші символи не дозволяються. Кожен символ, так само як і саме число π, можна використовувати будь-яку кількість разів, але чим менше чисел потрібно, тим краще.
Наприклад, число 1 можна як [ √ π ] , а число 3 – ще простіше: як [ π ]. Пропонується уявити таким чином усі числа від 1 до 20.
Далі наводяться результати отримані Чині:
10 = [π · π] + [√π]
14 = [ π · π + π + √ π ]
15 = [π · π] + [π + π]
16 = [ π · π + π + π ]
18 = [π · π] + [π · π]
19 = [ π · π + π · π ]
20 = [ π · √ π ] · [ π + √ π ]
Крім того, він зумів записати всі цілі числа від 1 до 100, використовуючи в кожному поданні не більше чотирьох π. Заради справедливості, зауважимо, що умови не дозволяли використовувати зведення в ступінь, що було зроблено для представлення числа 7, мабуть, через красу рівності, що вийшла, або з прагнення зменшити можливу кількість використаних π . Число 7 можна було уявити так
Крім запропонованих можливі, звісно, та інші варіанти уявлень. Наприклад,
але кількістьπ те саме – 3 і 2, відповідно. Чи можна отримати якісне покращення для уявлень будь-яких чисел? Та це можливо. Як приклади наведемо тут п'ять коротших уявлень:
14 = [ [ π ] · ( π + √ π )]
15 = [π] · [π · √π]
16 = [π · [π] · √π]
З допущенням до використання додаткових дій та математичних символів покращення можна продовжити. Наприклад, якщо використовувати зведення у ступінь та факторіал, то
20 = [ππ/√π] = [(π · √π)√π].
Крім того, якщо прийняти, як це зазвичай робиться, що
то можливі і подальші спрощення, а саме:
Існує думка, що можна підібрати таку систему математичних символів, що будь-яке натуральне число можна буде уявити лише за допомогою трьох символів π .
За матеріалами: М. Гарднер. Хрестики-нуліки (Москва, "Світ", 1988).