Показова функція та її застосування в житті, Соціальна мережа працівників освіти
У цій роботі учні 10 класу докладно вивчають одну з важливих розділів математики старшої школи "Показова функція її властивості та графік" і показують її застосування в житті, науці та техніку.
| pokazatelnaya_funktsiya_i_ee_primenenie_v_zhizni.pptx | 312.71 КБ |
Підписи до слайдів:
Проект на тему: «Показова функція та її застосування в житті, науці та техніці» Виконавці: Помисухіна Аліна, Ляндін Вадим Учні 10 «А» класу Шатківської ЗОШ №1. Керівник: вчитель математики Степіна Т.П. Шатки 2012
Показовою функцією називається функція виду y = a ί , де а - задане число, таке, що а 0, а 1 . Визначення
1.Область визначення показової функції - безліч R всіх дійсних чисел. 2.Багато значень показової функції - безліч всіх позитивних чисел 3.Показова функція y= a ˟ є зростаючою на багатьох всіх дійсних чисел, якщо а>1, і спадною, якщо 0
Якщо зняти киплячий чайник з вогню, спочатку він швидко остигає, та був остигання йде набагато повільніше, це явище описується формулою T =( T 1 - T 0 ) e - kt + T 1 Застосування показової функції у житті, науці і техніці.
При падінні тіл у безповітряному просторі швидкість їх безперервно зростає. При падінні тіл у повітрі швидкість падіння теж збільшується, але не може перевершити певної величини. Якщо вважати, що сила опору повітря пропорційна швидкості падіння парашутиста, тобто. що F = kv , то через t секунд швидкість падіння дорівнюватиме : v = mg/k (1-e -kt / m), де m - маса парашутиста .
Багато важких математичних завдань доводиться вирішувати в теорії міжпланетнихподорожей. Однією з них є завдання визначення маси палива, необхідного для того, щоб надати ракеті потрібну швидкість v . Ця маса М залежить від маси m самої ракети (без палива) і швидкості v 0 , з якої продукти горіння витікають з ракетного двигуна. Якщо не враховувати опір повітря і тяжіння Землі, маса палива визначитися формулою: M=m ( e v /v0 -1) (формула К.Э.Циалковского ). Наприклад, щоб ракеті з масою 1,5 т надати швидкість 8000 м/с, треба за швидкості закінчення газів 2000 м/с взяти приблизно 80 т палива.
Якщо при коливаннях маятника, гирі, що гойдається на пружині, не нехтувати опором повітря, то амплітуда коливань стає дедалі менше, коливання згасають. Це можна пояснити формулою: s= Ae -kt sin ( ωt+ω ).
Зростання населення. Зміна числа людей у країні на невеликому відрізку часу описується формулою , де N0 - число людей у момент часу t = 0, N-число людей у момент часу t, a-константа.
За таким же принципом поширилися завезені в Австралію кролики, які стали екологічною катастрофою цього унікального регіону. Зростання різних видів мікроорганізмів та бактерій, дріжджів, ферментів всі ці процеси підпорядковуються одному закону: N = N 0 e kt Закон органічного розмноження: за сприятливих умов (відсутність ворогів, велика кількість їжі) живі організми розмножувалися б за законом показової функції. Наприклад: одна кімнатна муха може за літо зробити 8 10 14 особин потомства. Їхня вага склала б кілька мільйонів тонн (а вага потомство пари мух перевищила б вагу нашої планети), вони б зайняли величезний простір, а якщо вибудувати їх у ланцюжок, то її довжина буде більшою, ніж відстань від Землі до Сонця. Але оскільки крім мух існуєбезліч інших тварин і рослин, багато з яких є природними ворогами мух, їх кількість не досягає вищевказаних значень.
Коли радіоактивна речовина розпадається, його кількість зменшується, через деякий час залишається половина початкової речовини. Цей проміжок часу t0 називається періодом напіврозпаду. Загальна формула для цього процесу: m = m 0 (1/2) - t / t 0 де m 0 - Початкова маса речовини. Чим більший період напіврозпаду, тим повільніше розпадається речовина. Це використовують для визначення віку археологічних знахідок. Радій, наприклад, розпадається згідно із законом: M = M 0 e - kt. І використовуючи цю формулу вчені розрахували вік Землі (радій розпадається приблизно за час, що дорівнює віку Землі).
Досліджуючи розташування планет сонячної системи навколо Сонця, німецький астроном І.Е. Боде в 1772 склав таку таблицю: № Планета Відстань ( L ) до сонця (в астрономічних одиницях) 1 Меркурій 0,4 2 Венера 0,7 3 Земля 1 4 Марс 1,5 5 6 Юпітер 5,2 7 Сатурн 9,5 К на той час було відкрито лише шість планет, тому всі обчислення зупиняються на Сатурні. Ці обчислення зробив І.Е. за такою формулою: Ця формула особливо точна для Венери, Землі та Юпітера.
Як відомо, між Марсом і Юпітером планети не існує, але якщо слідувати таблиці Боде, на цій орбіті має знаходитися якесь космічне тіло. Після деяких досліджень вченими був відкритий пояс астероїдів. Це було воістину торжеством науки та тріумфом математики!