ПРАВИЛА ДОДАТКИ ТА ПРИМНОЖЕННЯ МОЖЛИВОСТЕЙ

Декілька подій називаютьсянесумісними, якщо поява одного з них виключає можливість появи інших.

Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Якщо є лічильна множина несумісних подійA1, . ,An, то

. (2.2)

З правила складання ймовірностей випливає, що й події A1, A2, …, An несумісні й утворюють повну групу, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці; тобто. якщо

AiּAj=Про приi≠j,

(2.3)

Зокрема, якщо дві подіїАі протилежні, то вони утворюють повну групу несумісних подій

(2.4)

(2.5)

Імовірність суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з подій мінус ймовірність їхньої спільної появи:

. (2.6)

Імовірність суми трьох спільних подій

(2.7)

Подія A називається незалежною від події B, якщо можливість настання події A не залежить від того, відбулася подія B чи ні.

В іншому випадку події є залежними.Умовною ймовірністюподії B за наявності A називається величина

(2.8)

(При цьому вважається, що P(A) не дорівнює 0).

Умовну ймовірністьподіїP(B/A)можна трактувати як ймовірність події B, обчисленаза умови, що подія A сталася.

Насправді формулу (2.8) записують як:

(2.9)

Вірогідність твору (перетину, суміщення) двох подій дорівнює ймовірності однієї з них, помноженої на умовну ймовірність другого за наявності першого(правило множення ймовірностей).

Правило множення ймовірностей може бути узагальнено у разі довільного числа подій

(2.10)

тобто.імовірність твору кількох подій дорівнює твору ймовірностей цих подій, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється за умови, що всі попередні мали місце.

ПодіяAназиваєтьсянезалежною від подіїB,якщо її ймовірність не залежить від того, чи відбулася подіяBабо ні, тобто. P(B/A)=P(B).

Для незалежних подій правило твору ймовірностей набуває вигляду:

.(2.11)

Кілька подій A1, A2, …, An називаються незалежними, якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої комбінації (твору) будь-якого числа інших. Для незалежних подій правило множення набуває вигляду:

(2.12)

(2.13)

тобто.імовірність твору кількох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Зауважимо, якщо є кілька подій A1, A2, …, An, їх попарна незалежність (тобто. незалежність будь-яких двох подій Ai і Aj,i≠j) ще означає їх незалежності в сукупності.

Рішення. Позначимо події:

Bi= i-му каналу повідомлення хоча б один раз було передано без спотворень.

Для виконання події i-йканал, по-перше, не повинен бути забитий на заваді і, по-друге, хоча б одне повідомлення по ньому не повинно бути спотворене.

Імовірність того, що канал не «забитий» перешкодами дорівнює 1-q.

Імовірність того, що хоча б одне повідомлення передано без перешкод – дорівнює 1-pk(p– ймовірність того, що всі повідомлення передані зі спотвореннями).

Імовірність подіїA, яка полягає в тому, що хоча б на одному каналі відбудеться подія, дорівнює

Приклад1.5. Яка можливість вгадати в спортлото “5 з 36” не менше трьохномерів?

Рішення. Подія А - вгадати не менше трьох номерів у спортлото, що розбивається на суму трьох несумісних подій:

А3 - вгадати рівно три номери;

А4 - вгадати рівно чотири номери;

А5 – вгадати рівно п'ять номерів.

У цьому P(A)=P(A3)+P(A4)+P(A5), оскільки події несовместны.

Знайдемо ймовірність P(A3). Для цього скористаємося формулою (1.1). Тут загальна кількість комбінацій n за формулою (1.6) дорівнюватиме кількості можливих заповнень карток:

.

Число сприятливих комбінацій m у разі визначається так. Вибрати три номери з п'яти тих, хто виграв, можна способами. Однак, кожен вибір трьох правильних номерів поєднується з вибором двох неправильних номерів.

Число таких вибірок дорівнює. Таким чином, кількість сприятливих подій дорівнює добутку знайдених чисел:

.

.

Аналогічно обчислюються, . Таким чином, шукана ймовірність дорівнюватиме

.

---