Презентація на тему МЕТОДИ Зважених нев’язків Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т
Подібні презентації
Презентація на тему: " МЕТОДИ Зважених нев'язків Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С." - Транскрипт:
1 МЕТОДИ Зважених нев'язків Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С.
2 Введення Методи зважених нев'язок являють собою чисельні процедури побудови наближеного рішення системи диференціальних рівнянь виду: З граничними умовами: Де - точне рішення - просторові координати - зовнішня межа (1) (2)
3 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Введення Функція апроксимується набором функцій: Де - невідомі параметри - лінійно-незалежні функції, що належать до повної послідовності (3) Розглянемо функцію помилки (нев'язку): (4) При цьому вважатимемо, що: - набір вагових функцій (5)
4 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Метод колокацій Диференціальні рівняння задовольняються тільки в деяких вибраних точках: тоді: Виберемо в якості вагової функції дельта-функцію Дірака, тоді колокація еквівалентна операції: (6) (7) (8)
5 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Метод колокацій. Приклад Розглянемо наступне рівняння другого порядку на проміжку: з граничними умовами: Візьмемо апроксимуючу функцію у вигляді виразу, що задовольняє граничним умовам за будь-яких: (6) (7) (8) при Точне рішення (перевірка):
6 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Метод найменших квадратів Мінімізується добуток помилки сам на себе. Функція помилки подається у вигляді: тоді: Приймаємо апроксимуючу функцію у вигляді: (9) (10) (11) Мінімізуємо диференціюванням по:
7 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Метод найменших квадратів Мінімізується добуток помилки самуна себе диференціюванням за невідомими параметрами: (12) (13) Якщо - лінійний оператор, то: (14)
8 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Метод найменших квадратів. Розглянемо наступне рівняння другого порядку на проміжку: з граничними умовами: Візьмемо апроксимацію другого порядку: при Точне рішення (перевірка):
9 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Метод колокацій та метод найменших квадратів Поширимо метод колокацій на випадок, коли кількість точок перевищує кількість невідомих. При цьому невідомі параметри визначаються при мінімізації середньоквадратичному сенсі. оцінюється в точках ( ), а функція може бути записана у вигляді: Мінімізуємо (16), для -ого рівняння отримаємо: (15) (16) (17)
10 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Приклад Розглянемо наступне рівняння другого порядку на проміжку: з граничними умовами: і апроксимуючою функцією у вигляді виразу, що відповідає граничним умовам за будь-яких: при Точне рішення (перевірка): Підрахуємо нев'язку в трьох точках:
11 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Метод моментів Для заданої системи рівнянь: Як вагові функції можна використовувати будь-який набір лінійно незалежних функцій з повної послідовності, наприклад: При цьому забезпечується обертання в нуль моментів нев'язки вищого порядку: (18) (17) (19)
12 Кафедра ЮНЕСКО з НІТ, Рейн Т.С. Приклад Розглянемо наступне рівняння другого порядку на проміжку: з граничними умовами: і апроксимуючою функцією у вигляді вираження, що задовольняє граничним умовам за будь-яких: при Точне рішення (перевірка): Функція помилки ортогоналізується по відношенню до і: