Приклади кілець
5. Безліч, що складається лише з числа 0.
6. Безліч парних чисел і взагалі безліч цілих чисел, кратних деякому числуn.
7. Безліч комплексних чиселa+biз цілимиaіb(так зване кільце цілих комплексних чисел).
8. Безліч дійсних чисел , деaіb- цілі числа.
Безліч натуральних чисел, а також безліч усіх позитивних раціональних чисел кільцями не є, тому що не виконується аксіома ІІІ.
9. Велику роль в алгебрі грає кільце багаточленів з одним або декількома невідомими та коефіцієнтами з деякого кільцяR.
У цьому операції складання і множення приймаються звичайні дії над многочленами, відомі зі шкільної алгебри. Ці дії мають сенс, оскільки вони зводяться до складання та множення коефіцієнтів багаточленів, а останні належать до кільцяR, де зазначені дії визначені.
10. Пари (a,b) цілих чисел утворюють кільце, якщо операції визначені за формулами
Для складання та множення у кільці справедливі всі наслідки, отримані із законів асоціативності та комутативності у попередньому параграфі. Зокрема, можна визначити суму та добуток будь-якого кінцевого числа елементів (визначення 3), для яких правильні правила оперування, аналогічні (1) та які не залежать від порядку даних елементів.
Властивості I - III показують, що кільце щодо операції додавання є комутативною групою. Тому у кожному кільці існує елемент 0, званий нулем кільця, з властивістю
для будь-якогоa. Далі, для будь-якогоaіснує протилежний елемент -aтакий, що