Про інфінітезимальні автоморфізми майже симплектичних структур – тема наукової статті з

Вказано максимальну розмірність алгебри Лі інфінітезимальних автоморфізмів риманової та майже симплектичної структур, що природно виникають на дотичному розшаруванні гладкого різноманіття, наділеного майже симплектичною структурою та лінійною зв'язністю, узгодженою з цією структурою.

Текст наукової роботи на тему «Про інфінітезимальні автоморфізми майже симплектичних структур»

ВЧЕНІ ЗАПИСКИ КАЗАНСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРО ІНФІНІТЕЗИМАЛЬНІ АВТОМОРФІЗМИ МАЧИ СИМПЛЕКТИЧНИХ СТРУКТУР

В. І. Пан'женський

Вступ. На дотичному розшаруванні ТМ гладкого п-вимірного різноманіття М, наділеного майже симплектичною структурою ш і лінійною зв'язністю V, узгодженої з цією структурою, виникає риманова метрика О, яка є ермітовою щодо майже канонічної комплексної структури 3. Фундаментальна 2-форма П майже ермітової структури ( 0,3) визначає на ТМ майже симплектичну структуру. Лінею паю зв'язність V базисного різноманіття М породжує на ТМ цілком наведену зв'язність V, узгоджену з і П.

У даній роботі доведено, що повний ліфт Xс векторного поля X базис-М

структури Про або майже симплектичної структури П на ТМ тоді і тільки тоді, коли X є інфінітезимальний автоморфізм майже симплектичної структури ш,що зберігає зв'язність V. Розмірність алгебри Чи таких автоморфізмів вбирається у п(п + 3)/2. Найбільш загальні автоморфізми, що зберігають шари, визначаються векторними векторними полями. Доведено, що розмірність алгебри Лі інфінітезимальних автоморфізмів, що зберігають шари і зв'язність V ті перевищує 3п(п + 1)/2 для риманової структури і п(п + 3) для

1. Нехай ш - невироджена 2-форма, що визначає на п-мірному гладкому різноманітті М майже симплектичну структуру. Векторне поле X на М є інфінітезимальним автоморфізмом майже симплектичної структури, якщо похідна Лі від ш вздовж X звертається в нуль: Ьхш = 0. У локальних координатах ці рівняння мають такий вигляд:

£к дк шт + шт дг £к + ш

де ш = шу ехг л ехц , шу = - шцг, еЬьшу = 0, X = £кдк, дк = д/дхк; • • • =

= 1, п. Якщо структура симплектична: ш = 0, то маємо

дк шу + дг штк + ду шкг = 0. (2)

Кожному векторному полю X відповідає 1-форма а = 1х ш. Якщо X - інфінітезимальний автоморфізм симплектичної структури, то форма а = шу £гв,х3

є замкнутою: a = 0, що негайно випливає з (1) і (2). Назад, КЙЖДОІ невиродженої 1-формі а = а, ¿х1 відповідає векторне поле X, таке, що а = 1х ш, т. е. X = i> , Що Ьхш = 0, т. Е. X - інфінітезимальний автоморфізм. Тому алгебра Лі всіх інфіннтезимальних автоморфізмів симплектичної структури як векторний простір ізоморфна векторному простору замкнутих 1-форм і, отже, є нескінченномірною [1].

2. Лінійна зв'язність V узгоджено а з ш, якщо Ух ш = 0 для будь-якого векторного поля X або в локальних координатах

дк-шр, гр - ш»ргк, = 0> (3)

де Гк - Коефіцієнти зв'язності: Vдi д, = Г1 д ^. Циклуючи (3)і складаючи, отримуємо

+ Шррг^р, + = дк + д», + д,ш^г , (4)

де = Гк - Гк - компоненти тензора кручення 5(X, У) = VхУ - VYX - [X, У] зв'язності V. З (4) випливає, що якщо структура майже симплектична (ш =

Компоненти будь-якої зв'язності, узгодженої з майже симплектичною структурою, мають вигляд [2]

де Пі» _ довільна сукупність функцій, симетрична за першими двома індексами: п, = П,Рг • Справедливість рівностей (3) перевіряється безпосередньо підстановкою (5) (3).

3. Розглянемо інфінітезимальні автоморфізми майже симплектичної структури, що зберігають лінійну зв'язність, узгоджену з цією структурою. Такі автоморфізм назвемо абсолютними. Для них Ьхш = 0 і Ьх V = 0. Тоді, крім рівнянь (1), ще маємо

£рдрГк + дг£рГ^ + д, £р Гкр - ін £к Гр. + д, £к = 0. (6)

З рівнянь (3) випливає, що

дк = шр, гк + гк, • (7)

Крім того, маємо

д £к = V» £к — £ Т* •

Підставивши (7) і (8) до (1), отримаємо

(V £к - £р ^рН, + (V, £к - £рБкр )ш»к = 0. (9)

?к = V, ?к - ?р Бкр, (10)

тоді рівняння (1) набудуть вигляду

Аналогічно, замінивши в рівняннях (6) похідні приватні підступними, отримаємо

V» V, £к - VI £р Я* - £р + £рК* = 0, (12)

К к = д■ гк - д гк + гк Гя - гк Гя

де "k = rkj ^ж" - форми зв'язку осту V Неважко переконатися, що зв'язність V узгоджена як з G, так і з П: VG = 0, VП = 0.

Векторне поле X = £^"¿4 на TM є інфінітезимальним автоморфізмом риманової структури G (майже симплектичної структури П), якщо LjG = 0 (LjfП = 0).

£C (сGAB - GPBRCA - GAPRCB) + £PGPB + £PGAP = 0 (27)

£C (сПАВ - ПрвRCA - ПАР^CB) +¿4£PПрв + ¿в£PПАР = 0 (28)

для П, де R4b _ компоненти об'єкта нелономності, що входять до структурних рівнянь: [4, ] = ЯаВ-с-

Нехай Xс = £i(ж^ + ykVk£idn+i — повніший ліфт векторного поля X = £"(ж^ базисного різноманіття M. Поле Xс назвемо природним автоморфізмом структури G (П) на TM^ еті LXсG = 0 (LXсП = 0) Розписуючи рівняння (27) і (28) для різних серій індексів, можна переконатися, що LxcGab = 0 (LXс ПаВ = 0) тоді і тільки тоді, коли LX"j = 0 і LXГ- = 0. Тому має місце

Теорема 2. Для того щоб повний ліфт X векторного поля X майже

З цієї та попередньої теорем випливає

Теорема 3. Розмірність алгебри Чи природних автоморфізмів риманової структури Про або майже симплектичної структури П на ТМ не перевищує п (п + 3) / 2.

фпзми, що зберігають шари, визначаються векторними проектними полями на ТМ [5]. Векторне поле X на ТМ проектується, якщо вп]( - є векторне поле на М (п : ТМ ^ М — канонічна проекція розшарування). Таке поле в координатах має вигляд

XX = £г (х) 6 г + £п+г (х, у) дп+г. (29)

морфізму риманової структури Про і майже симплектичної структури П. Тоді маємо

для риманової структури,

для майже симплектичної структури та

для обох структур. Так само, як і у випадку інфінітезимальних автоморфізмів базового різноманіття, введемо нові змінні

£В = v в £с - £Р вВВР. (33)

Рівняння (30) і (31) набудуть вигляду

де £ав = £а Орв у рівняннях (34) і £ав = £а прв у рівняннях (35). Рівняння (32) представлені у вигляді, дозволеному щодо коваріантних похідних від функцій £В

V а?в' = -?Р КА'ВР,, (36)

де К'вр - компоненти тензора кривизни зв'язності V. Якщо умови інтегрованості рівнянь (36) і рівнянь

v £В = £В + £Р $вр (37)

виконуються тотожно, то розмірність алгебри.

симплектичної структури п. Так як векторне поле XX є проектованим, то, як неважко перевірити, ? п - 1) - для рівнянь (35) і, отже, г = 3п(п + 1)/2 - для риманової структури О і г = п (п + 3) - для майже симплектичної структури П

Теорема 4. Розмірність алгебри Лі абсолютних інфінітезімал'них автоморфізмів, що зберігають шари дотичного розшарування, не перевищує 3п(п++1)/2 - для риманової структури Сі п(п+3) - для майже симплектичної структури П.

V.I. Панженскій. Олія infinitesimal automorphisms з майже симптоматичними структурами.

На tangent bundle TM з manifold M endowed with майже symplectic structure ш and linear connection V compatible with ш, we consider the Riemannian metric G , який є Hermitian with respect to canonical all complex structure J and the corresponding майже symplectic struct We study the infinitesimal automorphisms of

natural automorphisms of G and of П is less than or equal to n(n + 3)/2.

1. Libermann P. Automorphismes infinitesimaux d'une structure symplectique // C. R. Acad. SCI. – 1956. – V. 242, No 9. – P. 1114-1117.

2. Левін Ю.І. Про афінні зв'язки, приєднані до кососиметричного тензора // Докл.АН СРСР. – 1959. – Т. 128, № 4. – С. 668-671.

3. Ейзенхарт Л.П. Безперервні групи перетворень. - М: ІЛ, 1947.

4. Шапуков В.М. Лінійні зв'язності векторного розшарування // Тр. геом. сім. - Казань: Вид-во Казан, ун-ту, 1975. - Вип. 8. – С. 118-131.

5. Шапуков В.М. Автоморфізмирозшарованих просторів // Тр. геом. сім. - Казань: Вид-во Казан, ун-ту, 1980. - Вип. 14. – С. 97-108.

Надійшла до редакції 25.12.04

Паньженський Володимир Іванович – кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри алгебри Пензенського державного педагогічного університету.