Процес загибелі та розмноження - Студопедія
Розглянемо ще одну типову схему безперервних марківських ланцюгів - так звану схему загибелі та розмноження, що часто зустрічається у різноманітних практичних завданнях.
Марківський процес із дискретними станамиS0, S1, . Snназивається процесомзагибелі та розмноження, якщо всі стани можна витягнути в один ланцюжок, в якому кожен із середніх станів (S1, S2, . Sn -1) може переходити тільки в сусідні стани, які, у свою чергу, переходять назад, а крайні стани (S0 і Sn) переходять тільки в сусідні стани (рис. 3.7).
Назва взято з біологічних завдань, де стан популяціїSkозначає наявність у нійkодиниць особин.
Перехід вправо пов'язані з розмноженням одиниць, а вліво - зі своїми загибеллю.
Мал. 3.7. Граф станів для процесу загибелі та розмноження
Уlіμіндекс того стану, з якою стрілка виходить.
З станомSkпов'язана невипадкова величинаХk: якщо системаSв момент часуtзнаходиться в станіSk, то дискретна випадкова величинаX(t), пов'язана з функціонуванням системи, набуває значенняk. Таким чином, отримуємо випадковий процесХ(t),який у випадкові, заздалегідь невідомі моменти часу стрибком змінює свій стан.
Марківським процесомзагибелі та розмноження з безперервним часомназивається такий випадковий процес, який може приймати тільки цілі невід'ємні значення. Зміни цього процесу можуть відбуватися будь-якої миті часу, т. е. будь-якої миті він може або збільшитися на одиницю, або зменшитися на одиницю, або залишитися незмінним.
У практиці зустрічаються процеси чистогорозмноження та чистої загибелі. Процесом чистого розмноження називається такий процес загибелі та розмноження, у якого інтенсивності всіх потоків загибелі дорівнюють нулю; аналогічно процесом чистої «загибелі» називається такий процес загибелі та розмноження, у якого інтенсивності всіх потоків розмноження дорівнюють нулю.
Приклад 1. Розглянемо експлуатацію моделей автомобілів однієї марки у великій транспортній фірмі (на підприємстві). Інтенсивність надходження автомобілів на підприємство дорівнюєl(t). Кожен автомобіль, що надійшов на підприємство, списується через випадковий часTc. Термін служби автомобіляtрозподілений за показовим законом із параметромm. Процес експлуатації автомобілів є випадковим процесом.A(t)- кількість автомобілів цієї марки, що у експлуатації у моментt. Знайдемо одномірний закон розподілу випадкового процесуPi(t) = P,якщо: 1) немає обмежень на кількість машин, що експлуатуються, 2) на підприємстві може експлуатуватися не більшеnавтомобілів.
1. Випадковий процес експлуатації автомобілів є процес загибелі та розмноження, розмічений граф якого представлений на рис. 3.8.
Мал. 3.8. Граф станів
Система рівнянь Колмогорова, що відповідає цьому графу, має вигляд
Якщо в початковий момент часуt= 0 на підприємстві не було жодного автомобіля, то вирішувати цю систему рівнянь потрібно за початкових умовP0(0)= 1,Pi(0 )= 0 (i= 1, 2, …). Якщо приt= 0 на підприємстві булоkавтомобілів (k= 1, 2, . ), то початкові умови матимуть вигляд
2. Якщо на підприємстві може експлуатуватися не більше nавтомобілів моделей однієї марки, то має місце процес загибелі та розмноження з обмеженимчислом станів, розмічений граф якого представлено на рис. 3.9.
Мал. 3.9. Граф станів
Система рівнянь Колмогорова для розміченого графа (рис. 3.9) має вигляд (3.4).
Цю систему треба вирішувати за початкових умов, розглянутих вище. Рішення систем рівнянь (3.4) і (3.5) є одномірними законами розподілуРі(t). має практичні програми.
При постійних інтенсивностях потоків загибелі та розмноження та кінцевій кількості станів існуватиме стаціонарний режим. СистемаSз кінцевим числом станів (n+ 1), в якій протікає процес загибелі та розмноження з постійними інтенсивностями потоків загибелі та розмноження, є найпростішою ергодичною системою. Розмічений граф станів для такої системи представлено на рис. 3.9.
Граничні (фінальні) ймовірності станів для найпростішого ергодичного процесу загибелі та розмноження, що знаходиться в стаціонарному режимі, визначаються за такими формулами:
(3.6)
(3.7)
Правило. Імовірністьk-го стану в схемі загибелі і розмноження дорівнює дробу, в чисельнику якого стоїть добуток усіх інтенсивностей розмноження, що стоять ліворучSk, а в знаменнику - добуток усіх інтенсивностей загибелі, що стоять ліворучSk, помноженої на ймовірність кранного лівого стану системиP0.
У попередньому прикладі для стаціонарного режиму якщо інтенсивність надходження автомобілів стала (l(t) = l = const), то фінальні ймовірності станів за умови, що немає обмежень на кількість автомобілів на підприємстві, рівні
(3.8)
. (3.9)
Прицьому математичне очікування числа експлуатованих автомобілів дорівнює його дисперсії:
Якщо існує обмеження щодо кількості автомобілів на підприємстві (не більшеn), то фінальні ймовірності можна записати в такому вигляді:
(3.11)
(3.12)
Математичне очікування кількості автомобілів, що експлуатуються в стаціонарному режимі
(3.13)
Приклад 2. До складу потокової лінії входить чотири верстати. Бригада у складі чотирьох осіб обслуговуючого персоналу проводить профілактичний ремонт кожного з них. Сумарний потік моментів закінчення ремонтів для всієї бригади - пуасонівський з інтенсивністюl(t).Після закінчення ремонту верстат перевіряється; з ймовірністюРвін виявляється працездатним (час перевірки мало, і їх можна знехтувати проти часом профілактики). Якщо верстат виявляється непрацездатним, то знову проводиться його профілактика (час на яку не залежить від того, чи проводилася вона раніше) і т. д. У початковий момент усі верстати потребують профілактичного ремонту. Потрібно:
1. Побудувати граф станів для системиS(чотири верстати).
2. Написати диференціальні рівняння для можливостей станів.
3. Знайти математичне очікування числа верстатівMt, вспінню минулих профілактику на моментt.
Граф станів показано на рис. 3.10, в якому:
S0 –всі чотири верстати потребують профілактичного ремонту;
S1– один верстат успішно пройшов профілактику, а три потребують профілактичного ремонту;
S2– два верстати успішно пройшли профілактику, а два потребують профілактичного ремонту;
S3– три верстати успішно пройшли профілактику, один потребує профілактичного ремонту;
S4- всі чотириверстата успішно пройшли профілактику.
Мал. 3.10. Граф станів системи
Кожен профілактичний ремонт успішно закінчується з ймовірністюP, що рівносильноP-перетворенню потоку закінчень ремонтів, після якого він залишиться пуассонівським, але з інтенсивністюPl(t). У цьому прикладі ми маємо справу із процесом чистого розмноження з обмеженою кількістю станів.
Рівняння Колмогорова мають такий вигляд:
Початкові умовиP0(0)= 1,P1(0)= … =P4(0)= 0. При постійній інтенсивностіl(t ) = lта ймовірності стані визначаються за такими формулами:
Математичне очікування числа дисків, що успішно пройшли профілактику до моменту t, дорівнює
Приклад 3. Розглянемо виробництво автомобілів на заводі. Потік вироблених автомобілів - нестаціонарний пуасонівський з інтенсивністюl(t). якщо на моментt= 0 розпочато випуск автомобілів.
Очевидно, що тут процес чистого розмноження без обмеження на кількість станів, при цьомуli(t) = l(t), оскільки інтенсивність випуску автомобілів не залежить від того, скільки їх вже випущено. Граф станів такого процесу показано на рис. 3.11.
Мал. 3.11. Граф станів
Одновимірний закон розподілу випадкового процесуХ(t)для графа, зображеного на рис. 3.11 визначається наступною системою рівнянь Колмогорова:
Оскільки кількість випущених автомобілівX(t)на будь-який фіксований моментtрозподілено згідно із законом Пуассона з параметром
Розглянутий у цьому прикладі процесX(t)називаєтьсянеоднорідним процесомПуассона.Якщо інтенсивністьl(t) = l = const, то отримаємооднорідний процес Пуассона. Для такого процесу приP0(0)= 1,Pi(0) = 0 (i > 0)
Характеристиками процесу Пуассона будуть
Завдання 1. Є прилад, який складається з чотирьох вузлів; потік відмов – найпростіший, середній час безвідмовної роботи кожного вузла дорівнює 11 год. Вузол, що відмовив, відразу починає ремонтуватися; середній час ремонту вузла дорівнює 2 год. (Потік відновлення найпростіший). Знайти середню продуктивність приладу, якщо за чотирьох працюючих вузлах вона дорівнює 100%, за трьох 60%, за двох і менше прилад взагалі працює.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно