ПРОСТОРНО-ЧАСОВА МЕТРИКА, Шварцшильдові координати, Швидкість світла,Ізотропні координати

У чотиривимірному римановому просторі загальний вираз для інтервалу між двома подіями виражається похідними

де - вільні індекси (а не позначення ступенів), і, крім того, прийнято звичайне правило підсумовування (вільний індекс, що повторюється, передбачає підсумовування за всіма його значеннями 0, 1,2, 3). Таким чином, вираз (1.1.1) є сумою 16 членів. Значення функції координат; вони визначають метрику простору.

Відповідно до загальної теорії відносності ця метрика залежить від розподілу матерії; значення задовольняють деяким диференціальним рівнянням у приватних похідних, відомим як рівняння Ейнштейна. Така метрика називається просторово-часовою.

Послідовність координат частинки, що рухається описує її «світову лінію», зокрема, світова лінія частинки, що вільно переміщається в гравітаційному полі, називається геодезичною.

Для наших цілей достатньо обмежитись розглядом статичного сферично-симетричного поля, створюваного єдиною ізольованою масою. Ототожнимо просторовими координатами щодо центру симетрії, а тимчасовою координатою, позначивши її через t. Припущення про статичність поля має на увазі, що значення не є функціями t, а радіальний масштаб може бути визначений як довільна функція радіуса. Оскільки цей масштаб вибраний, диференціальні рівняння, що описують геодезичну, задані повністю.

Проте залишається вільним ще вибір простору координат, що еквівалентно вибору геометричної проекції при побудові двовимірних карт. Аткінсон [8] показав, що релятивістські властивості сферично-симетричного поля можна суворо описати в рамках тривимірного евклідова.простору, оскільки припущення про сферичну симетрію передбачає незмінність виду метрики при евклідових перетвореннях просторових координат.

Приймаючи таку думку, ми визначаємо евклідово простір трьома взаємно ортогональними декартовими осями з початком у центрі симетрії; ця система координат визначає систему відліку, що лежить. Визначимо координатний вектор х і координатну швидкість як тривимірні евклідові вектори, компоненти яких відповідні

Якщо одиничний вектор у напрямку х, то найбільш

загальний вираз інтервалу у разі статичного сферично-симетричного поля має вигляд

де - константа, - функції радіусу (у цій формулі і далі всі індекси - показники ступеня).

Розглянемо лише звані временноподобные інтервали, котрим у разі т називається «власним» часом. Аткінсон [9] показав, що рівняння Ейнштейна призводять до двох співвідношень між коефіцієнтами формули (1.1.2), які в наших позначення такі:

(1.1.4) де - інша константа, а також

Вибором як довільної функції радіальної координати можна описати нескінченну кількість сферично симетричних метрик, що задовольняють рівнянь Ейнштейна. Єдина умова, яка має бути при цьому задоволена, полягає в тому, що прининими словами, на нескінченній відстані від початку координат вираз інтервалу набуває вигляду (1.1.5)

який задає пласку метрику Мінковського спеціальної теорії відносності. Система відліку, в якій метрика має вигляд (1.1.е), називається інерційною або лорентцевою системою відліку.

Швидкість світла

Світова лінія фотона, звана нульовою геодезичною, визначається так, що завжди дорівнює нулю. Рівняння (1.1.5) показує,що на нульовій геодезичній у нескінченному віддаленні від початку

т. е. координатна швидкість світла в «порожньому» просторі дорівнює, Однак у нашому евклідовому просторі координатна швидкість світла не дорівнює. Прийнявши вимаємо

Швидкість світла в довільній точці x залежить від радіальної координати та напряму. У радіальному напрямку швидкість задається формулою

у той час як у тангенціальному напрямку

Шварцшильдові координати

Розглянемо перетворення просторових координат

Диференціюючи цей вислів та враховуючи, що отримуємо

звідки випливає, що

З формул видно, що вираз (1.1.2) для інтервалу перетворюється на вигляд

Вираз - векторна форма метрики у стандартних координатах Шварцшильда; відповідну скалярну форму у сферичних координатах, як суворе рішення рівнянь Ейнштейна, вперше отримав у 1916 р. К. Шварцшильд.

Ми показали, що загальний вираз (1.1.2) за допомогою формул (1.1.3) та (1.1.4) може бути приведений до шварцшильдової форми (1.1.12) шляхом суто алгебраїчного перетворення співвідношення (1.1.8). Таким чином, рівняння, виведені з використанням метрики Шварцшильда, можна перетворити на деяку загальну сферично симетричну метрику.

Ізотропні координати

Розглянемо систему координат, що визначається формулою

Відповідно до (1.1.3), отримуємо

Диференціюючи (1.1.14), знаходимо

Отже, за (1.1.4) маємо

і вираз (1.1.2) для елемента набуває вигляду

Цей вираз відомий як ізотропна форма метрики Шварцшильда, оскільки, прийнявши, можна знайти, що координатна

швидкість світла в точці х, що задається формулою

---