Реферат Інтеграл Френеля
Інтеграли ФренеляS(x) таC(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля та використовувані в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля та визначаються як
Параметричний графікS(x) іC(x) дає криву на площині, яка називаєтьсяспіраллю Кореняабоклотоїдою.
1. Розкладання до ряду
Інтеграли Френеля можуть бути представлені статечними рядами, що сходяться при всіхx:
2. Спіраль Кореня
Спіраль Кореня, також відома якклотоїда, - це крива, що є параметричним графікомS(t) відC(t). Спіраль Кореня була вигадана Марі Альфредом Кореню для полегшення розрахунку дифракції в прикладних завданнях.
то в такій параметризації дотичний вектор має одиничну довжину, так що t є довжиною кривої, що вимірюється від точки (0,0). Отже, обидві гілки спіралі мають нескінченну довжину.
Кривизна цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, укладеної між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, тому що кутове прискорення машини, що рухається цією кривою з постійною швидкістю, залишатиметься постійним.
3. Властивості
- C(x) таS(x) — непарні функціїx.
- Використовуючи розкладання ряд, можна побудувати аналітичне продовження інтегралів Френеля протягом усього комплексну площину. Комплексні інтеграли Френеля виражаються через функцію помилок як
- Інтеграли Френеля не виражаються через елементарні функції, крім окремих випадків. Межа цих функцій при рівні
3.1. Обчислення
Межі функційCіSможуть бути знайдені за допомогою контурного інтегрування. Для цього береться контурний інтеграл функції
по межі сектора на комплексній площині, утвореного віссю абсцис, променемy=x, і коло радіусаRз центром на початку координат.
При інтеграл по дузі прагне 0, інтеграл по речовій осі прагне значення інтеграла Пуассона
і, після деяких перетворень, інтеграл вздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтеграла Френеля.