Регулярні та сингулярні системи координат, Єдина Теорія Поля

Вимірювання та Властивості Простору-Часу

Регулярні та сингулярні системи координат

У чому різниця між тими та іншими? Чому варто про це поговорити?

Навіщо я говорю такі банальні речі? А щоб підкреслити, що, з одного боку, системи координат давним давно є невід'ємною складовою нашого життя, а з іншого боку, потрібно досить акуратне поводження з ними, щоб не потрапити в халепу. Наука з координатами звертається звичайно не так недбало, як ми дозволяємо собі іноді в повсякденному житті, але і в науковому підході до систем координат залишаються деякі замовчовані речі, які людей не дуже прискіпливих іноді можуть вводити в оману. Та й скрупульозних теж. На всякого мудреця досить простоти. Причина цього не у зловмисності математиків чи фізиків, а простому факті, що “не дуже хороші координати” у часто можуть бути надзвичайно зручними, придатними для описи тієї чи іншої явища. А їх "не зовсім гарність" давним давно начебто відома, та й що про неї згадувати? А пам'ятати треба. Ох, як треба. Часто, якщо пам'ятати дещо таке про систему координат, багато що може стати зрозуміліше.

Почнемо знову з речей близьких, які здаються зрозумілими кожному. Той самий аркуш паперу. Проведемо на ньому пряму лінію. Які системи координат є регулярними, звичайними допустимими на цій лінії? Що таке система координат на лінії? Для визначення системи координат потрібна точка, взята початок відліку, нульова. І одиниця виміру, з допомогою якої в обидві сторони від початку відліку приписуємо координату решті точок. Як виміряна цією одиницею відстань до початкової точки (яку приписано координату нуль). Є на лінії та напрямок,як знак числа, що задає координату. Цей знак вказує, де знаходиться точка по відношенню до нульової – ліворуч чи праворуч. Всі системи координат, що відрізняються лише величиною одиниці виміру, вибором початкової (нульової) точки та вибором позитивного напрямку (ліворуч або праворуч) є цілком регулярними, допустимими системами координат. Вони дозволяють описати всі точки нашої прямоїв однаковій мірі повно. А яка система координат була б у цьому сенсі неприпустимою? Немає таких? Є. Якщо ми всупереч здоровому глузду вирішимо вибрати одиницю виміру з нульовою довжиною, то не вдасться описати всі точки прямої лінії. Тільки одну точку ми зможемо описати, початок відліку. Так, цей приклад дуже далекий від здорового глузду, але я його навів для того, щоб загострити увагу на тому, що "допустимість" (регулярність) або "не допустимість" (не регулярність, або інакше, сингулярність) системи координат пов'язана саме з відсутністю виродження даного простору в простір меншого числа вимірів тільки через вибір якихось властивостей процедури вимірів, яка виробляє координатну систему. У наведеному прикладі це виродження прямої лінії в точку через неправильний вибір одиниці виміру. Зараз я покажу, що мій приклад не такий вже й наївний, як може здатися з першого погляду. Нехай у нас є одна хороша система координат на нашій прямій (тобто обрані початок відліку, одиниця виміру та позитивний напрямок). Розглянемо всілякі інші системи координат на цій лінії, які відрізняються від цієї лише одиницею виміру. Якщо нова одиниця одна і та сама для всіх точок лінії, і відрізняється від нуля, то нова система координат теж буде гарною, допустимою. А якщо її величина може змінюватися від точки до точки? До речі, не така й дивнаможливість. Наприклад, нам хочеться мати логарифмічну шкалу на лінії. Буває? Буває. Ось тут і чатує на нас небезпека. Ми повинні відстежувати, щоб ніде на лінії нова одиниця виміру по відношенню до старої не перетворилася ні на нуль, ні на нескінченність. А якщо все-таки в якійсь із точок таке може статися? Чи можна використовувати таку систему координат? Начебто в інших точках вона хороша? Адже логарифмічна шкала саме така! І ми часто її використовуємо. Відповідь ясна. Використовувати можна, але відносити її до абсолютно хорошим, допустимим, регулярним системам координат не можна. Це сингулярна система координат. Важливо те, що ніяка точка лінії сама по собі не є особливою. Особливість тієї чи іншої точки на лінії штучна, обумовлена специфічним вибором у ній одиниці виміру. Тому саме систему координат названо сингулярною. І це потрібно пам'ятати. Отже, вже у одновимірному випадку ми зустрічаємо випадки використання як регулярних, а й сингулярних координат.

Подивимося тепер двовимірний випадок. Одна точка вибрано за початок відліку. Їй надаються нульові значення обох координат. Вибрано дві ортогональні координатні лінії, дві одиниці виміру, два позитивні напрямки. Ось і є наша регулярна система координат. Досить очевидно, що якщо ми потребуємо деяких випадках нерівномірних шкал, по одній, або по обох координатних лініях, то серед багатьох координатних систем, що виходять таким чином, знайдуться і сингулярні в деяких точках площині. Сингулярність яких, як і в одновимірному випадку, обумовлена виродженням в нуль одиниці виміру в цих точках. Однак у двовимірному випадку є ще одна можливість виродження двовимірного простору в простір меншої кількості вимірюваньрахунок “поганого” вибору процедури вимірів, породжує систему координат. Часто ми користуємося не ортогональними системами координат, а такими, координатні лінії яких сходяться в точці під деяким довільним кутом. Такі системи координат іноді називають кривокутними чи криволінійними. Трохи пізніше я зупинюся і на інших недекартових координатах, що дуже часто вживаються. Зараз хочу звернути вашу увагу на очевидний факт. Там, де кут сходження координатних ліній перетворюється на нуль, знову має місце виродження. Двовимірний простір зображується як одномірний, лише однією координатою. Тому що нульовий кут між координатними лініями і означає, що лінія в цьому місці лише одна. Тобто в такій точці система координат буде сингулярною за рахунок того, що замість необхідних для її регулярності двох різних одиниць виміру використовується два екземпляри (може бути відрізняються за величиною) однієї і тієї ж одиниці виміру.

Сингулярними у деяких точках можуть і цілком звичайні , “ортогональні” всюди координати , як рахунок “неправильного” вибору величини чи напрями масштабів, а просто внаслідок деяких властивостей самого простору (цілком регулярних!), які дозволяють описувативсе це простірєдиною регулярною системою координат . Прикладом такого простору в одновимірному випадку може бути замкнута лінія, а в двовимірному – сферична поверхня. Саме замкнутість простору і є тією властивістю, яка перешкоджає можливості введення єдиної регулярної системи координат, що накриває весь простір цілком. При спробі все-таки обійтися єдиною системою координат, всі координати або якась їх частина набувають обмежену базову областьзміни, період. Можуть з'являтися і особливі точки, у яких координати знову вироджуються, як, наприклад, у полюсах сфері. Сітка паралелей та меридіанів чудово працює усюди, крім двох точок, де паралелі стягуються в точку, імітуючи зникнення однієї з двох одиниць виміру, необхідних для правильного опису двовимірної поверхні. Таким чином, система координат, що базується на описі сфери за допомогою паралелей та меридіанів (саме та, якою ми користуємося для орієнтації на поверхні Земної кулі) за своєю природою є сингулярною. Ця властивість аж ніяк не заважає використовувати її цілком успішно у повсякденному житті. А внаслідок того, що Земля ще й обертається, у нас з'являється дуже приваблива можливість приписати цим фіктивним особливим точкам, полюсам якийсь містичний зміст. І навіть організовувати експедиції, щоби їх досягти. Тому що, з точки зору обертання Землі, дійсно є дві особливі точки, через які проходить уявна вісь обертання. Крім того, точки ці важкодоступні. Однак те, що полюси системи координат, що базується на паралелях і меридіанах, також поміщені саме в ці точки земної поверхні, для самої системи координат факт не суттєвий. Полюси такої системи координат на сфері цілком могли б бути поміщені в будь-які дві точки, що знаходяться на кінцях одного діаметра.

Подивимося тепер ще один клас сингулярних систем координат, використовуваний теж дуже широко. Я хочу поговорити про полярні координати на площині та сферичні полярні координати в тривимірному просторі. Ці координати у фізиці застосовуються дуже широко. Та й звичайній людині вони цілком звичні. Кожен із нас досить часто розглядає себе як центральну точку системи координат, у якій все, що вінбачить розташовується на певній відстані (радіусі) від нього, і, можливо, у різних напрямках, що відзначаються поворотом на деякий кут від якогось обраного напрямку. Така система координат сингулярна вже тому, що одна (або дві) координати, кути є періодичними, оскільки при деякому повороті (періоді) напрямок знову збігається з початково обраним, від якого і відраховується кут повороту. Але в ній є і суттєвіша особлива точка, саме початок координат. У цьому точці, тобто. при значенні радіуса, що дорівнює нулю, всі напрямки вироджуються, їх не можна визначити однозначно. Будь-який напрямок можна приписати цій точці. З найпростішої причини – для однозначного вибору напряму потрібно мати хоча б дві точки, а не одну. Те, що це особливість суто координатна, зобов'язана своїм існуванням лише способу побудови системи координат, досить очевидно. Полярні системи координат дуже корисні та ефективні у випадках, коли головну роль грає лише відстань між об'єктами. По суті, це спосіб опису, який виділенимприродним чином вписує одномірний опис у зовнішній світ більшої кількості вимірювань. При цьому увага акцентується на єдиній суттєвій координаті – відстані, радіусі.

Розуміння таких властивостей сингулярних систем координат дозволяє як уникнути неправильного тлумачення деяких “особливих” явищ в описі світу. Воно дозволяє також краще розуміти закони природи. Візьмемо, наприклад, закон гравітації Ньютона. Що він каже? Що між масивними тілами діє сила, що притягує, яка залежить тільки від мас тіл і від відстані. Чому ж у тривимірному просторі вона залежить лише від однієї величини? У полярних координатах – лише від однієїіз трьох координат? Та з найпростішої причини. У наближенні Ньютона тіла сприймаються як точки. І якщо у вас є тільки дві точки, то у вас насправді немає тривимірного простору. У вас лише одномірний простір, у якому виділено дві точки. А якщо ви розглядаєте загальний рух двох точок, то автоматично отримуєте площину, що помітна їх прямою (і один із законів Кеплера на додачу). І все. У системі двох точок є лише одна суттєва координата, відстань між цими точками. Силі просто нема від чого залежати. Відповідно, у наближенні Ньютона саме полярні координати будуть особливо зручними для опису, скажімо системи, що складається із зірки та однієї планети. Незважаючи на їхню очевидну сингулярність для тривимірного простору. Звичайно, при відмові від такого найпростішого наближення, з урахуванням впливу решти світу, гравітаційна сила в будь-якій даній точці визначатиметься вже набагато складнішою структурою, кривизною простору (простору-часу) у цій точці. І полярні координати, цілком імовірно, перестануть бути зручнішими, ніж, скажімо, декартові. Хоча б тому, що мають вбудовану сингулярність.