Рекурентні потоки
Потік подій називається рекурентним (інакше – «потоком «Пальма»), якщо він стаціонарний, ординарен, а інтервали часу між подіями T1, T2, T3, … є незалежними випадковими величинами з однаковим довільним розподілом. Наведемо приклад рекурентного потоку. Технічний елемент (наприклад, діод) працює безперервно до відмови (виходу з ладу); елемент, що відмовив, миттєво замінюється новим. Якщо окремі екземпляри елемента виходять із ладу незалежно один від одного, то потік відмов (він же «потік замін» або «відновлень») буде рекурентним.
Розглянемо висновок згаданої раніше формули Літтла, що зв'язує (для граничного, стаціонарного режиму) середня кількість заявокLсист, що знаходяться в системі масового обслуговування (тобто обслуговуються або стоять у черзі), і середній час перебування заявки в системіWсист.
Розглянемо будь-яку СМО (одноканальну, багатоканальну, марківську, немарківську, з необмеженою або з обмеженою чергою) та пов'язані з нею два потоки подій: потік заявок, що прибувають до СМО, та потік заявок, що залишають СМО. Якщо в системі встановився граничний, стаціонарний режим, то середня кількість заявок, що прибувають до СМО за одиницю часу, дорівнює середній кількості заявок, що залишають її, оскільки обидва потоки мають одну в ту ж інтенсивністьl.
Позначимо:X(t)-число заявок, що прибули до СМО до моментуt,Y(t)- кількість заявок, що залишили СМО до моменту t.І та, і інша функції є випадковими і змінюються стрибком (збільшуються на одиницю) в моменти приходів заявок (X(t)) та доглядів заявок (Y(t)). Для будь-якого моментуtїх різницяZ(t) = X(t) - Y(t)- це кількість заявок, що знаходяться в СМО.
Розглянемодуже великий проміжок часуTі обчислимо йому середнє число заявок, що у СМО. Воно дорівнюватиме інтегралу від функціїZ(t)на цьому проміжку, поділеному на довжину інтервалуT:
(5)
Даний інтеграл являє собою площу фігури, укладеної міжX(t)таY(t). Фігура складається з прямокутників, кожен з яких має висоту, рівну одиниці, і основу, що дорівнює часу перебування в системі відповідної заявки (першої, другої тощо). Позначимо ці часи як t1, t2. Щоправда, під кінець проміжкуТдеякі прямокутники увійдуть у цю фігуру не повністю, а частково, але за досить великогоТце можна знехтувати. Таким чином, можна вважати, що
, (6)
де сума поширюється на всі заявки, що прийшли за часТ.
Розділимо праву та ліву частину (6) на довжину інтервалуТ.Отримаємо, з урахуванням (5):
. (7)
Розділимо та помножимо праву частину (7) на інтенсивністьl:
(8)
ВеличинаTl- це середня кількість заявок, що прийшли за часТ.Якщо ми розділимо суму всіх часів ti на середню кількість заявок, то отримаємо середній час перебування заявки в системіWсист.Отже,
. (9)
Це і є формула Літтла: для будь-якої СМО, за будь-якого характеру потоку заявок, за будь-якого розподілу часу обслуговування, за будь-якої дисципліни обслуговування середній час перебування заявки в системі дорівнює середній кількості заявок у системі, поділеній на інтенсивність потоку заявок.
Так само виводиться друга формула Літтла, що пов'язує середній час перебування заявки в черзіWочі середня кількість заявок у черзіLоч.
. (10)