Сепарабельна алгебра - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, сторінка 1
Сепарабельна алгебра
Визначення сепарабельних алгебр використовує поняття, запроваджені топологами щодо різноманітних. Чудово, що ідеї гомологічної алгебри виявилися такими плідними в теорії кілець. [1]
Пропозиція 3.6. Кожен елемент сепарабельної алгебри є коренем свого головного багаточлена. [2]
Як неважко переконатися, однорідність сепарабельної алгебри Ж означає, що Ж немає компонент кінцевої ваги, або - що рівносильно - немає дискретних компонент. [3]
У цьому розділі вводиться клас сепарабельних алгебр, які мають деякі важливі властивості, властиві напівпростим алгебрам. [4]
Корисно мати у своєму розпорядженні кілька характеризацій сепарабельних алгебр. В одній з них бере участь окремий випадок відображення ц, введеного в § 9.5. При z e Ае покладемо ц(г) A % - У цьому визначенні використовується структура правого Ле-модуля на А. Зрозуміло, що є гомоморфізмом Ле-мо-дулею, а тому також і гомоморфізмом Л - бімодулів. Якщо алгебра А некомутативна, то ц не є кільцевим гомоморфізмом. [5]
Заключний результат цього параграфа стосується тензорних творів сепарабельних алгебр. [6]
В алгебрі ці речі також цікаві; там вони називаються сепарабельними алгебрами. У функціональному аналізі не можна це слово вимовити, воно зайняте іншими об'єктами. Тут вони називаються алгебрами, що стягуються. А в топології, скажімо, в класі поліедрів, така умова виділяє поліедри, що стягуються. [7]
Існує простий зв'язок між диз'юнктністю уявлень сепа-рабельної локально компактної групи (відповідно сепарабельної алгебри з інволюцією) і взаємною сингулярністю представників канонічних класів заходівквазіспектрі групи (алгебри), що відповідають цим уявленням. [8]
Характеризація проективних модулів, що міститься в реченні 6.1 Ь, призводить до іншого опису сепарабельних алгебр. З цього результату легко виходить співвідношення між сепарабельними та напівпростими алгебрами. [9]
Теорема 2.5. Будь-яка праворядна алгебра сепарабельного типу ізоморфна фактор алгебри тензорної алгебри Т (V), де V - праворядний бімодуль над сепарабельною алгеброю В, за деяким правильним ідеалом. [10]
Білінійна форма (a, b) - Tr (ab) називається формою головного сліду, а її дискримінант Д (AIK) - дискримінантом сепарабельної алгебри А (нагадаємо, що він визначений з точністю до множника, що є квадратом ненульового елемента з / Q. [ 11]
Виявляється, загальний випадок є певною мірою комбінацію цих двох прикладів. Ми встановимо також такі основні властивості сепарабельних алгебр: напівпростота всіх бімодулів; теорема Веддерберна - Мальцева про підйом сепарабельного фактора алгебри (цей результат ми використовуємо в гл. [12]
Когомології алгебри були введені Хохшільдом. Йому також належить заслуга виявлення зв'язку між сепарабельними алгебрами та теоремами Веддерберна та Мальцева. Існують складніші підходи до когомологій алгебр, ніж первісна конструкція Хохшильда. Однак його метод дозволяє, використовуючи досить прості засоби, швидко розвинути необхідний апарат. Доказ леми про змію, наведений у § 11.3, належить Ляйхту. Редукція вивчення будови алгебр щодо нільпотентних алгебр (як у § 11.7) прояснює ситуацію, але не надто наближає нас до вирішення даної проблеми. [13]
Тоді їх пряма сума А - В є сепарабельною алгеброю в тому і тільки тому випадку, якщо обидві алгебриА та В сепарабельні. [14]
Я, то її називають простою. Хаттори, зокрема, знайшов умови, за яких напівпрості та сепарабельні алгебри є простими. [15]