Схема марківської моделі загибелі та розмноження
Часто в системах різного призначення протікають процеси, які можна представити у вигляді моделі "загибелі та розмноження".
Граф станів такого процесу показано на рис. 2.5.
Особливістю моделі є наявність прямої та зворотної зв'язків з кожним сусіднім станом для всіх середніх станів; перший і останній (крайні) стани пов'язані тільки з одним "сусідом" (з наступним і попереднім станами відповідно).
Назва моделі - " загибель і розмноження " - пов'язані з уявленням, що стрілки вправо означають перехід до станам, що з зростанням номери стану ( " народження " ), а стрілки вліво - зі зменшенням номера станів ( " загибель " ).
Вочевидь, стаціонарний стан у процесі існує. Складати рівняння Колмогорова немає необхідності, оскільки структура регулярна, необхідні формули наводяться у довідниках, і навіть у рекомендованої литературе.
Для наведених на рис. 2.5 позначень формули мають вигляд:
Приклад 2.3. Є система з двох однакових та працюючих паралельно комп'ютерів.
Потрібно визначити надійнісні характеристики цієї системи.
У цій системі можливі три стани:
- обидва комп'ютери справні;
- один комп'ютер справний, інший ремонтується;
- обидва комп'ютери несправні та ремонтуються. Вважатимемо, що процеси відмов і відновлень - однорідні марківські, одночасний вихід з ладу обох комп'ютерів, як і одночасне відновлення двох комп'ютерів, що відмовили, практично неможливо.
Оскільки комп'ютери однакові, то з погляду надійності, неважливо, який саме комп'ютер несправний може важливо, що один.
З урахуванням сказаного, ситуація моделюється схемою "загибелі та розмноження" (рис.2.6).
, - Інтенсивності потоків відмов;
- Інтенсивності потоків відновлень.
Нехай середній час безвідмовної роботи кожного комп'ютера
. а середній час відновлення одного комп'ютера.
Тоді інтенсивність відмов одного комп'ютера дорівнюватиме, а інтенсивність відновлення одного комп'ютера -
У стані працюють обидва комп'ютери, отже:
У стані працює один комп'ютер, отже:
У стані відновлюється один комп'ютер, тоді:
У стані відновлюються обидва комп'ютери:
Використовуємо залежність (2.2). Імовірність стану, коли обидві машини справні:
Імовірність другого стану (працює один комп'ютер):
Аналогічно обчислюється і хоча знайти можна і так:
Приклад 2.4. У смузі об'єднання працюють передавачі супротивника. Підрозділ операторів-зв'язківців армійської контррозвідки веде пошук передавачів з їх радіовипромінювань. Кожен оператор, виявивши передавач противника, стежить його частотою, у своїй новим пошуком не займається. У процесі стеження частота може бути втрачена, після чого оператор знову здійснює пошук.
Розробити математичну модель визначення ефективності служби підрозділи операторів. p align="justify"> Під ефективністю розуміється середня кількість виявлених передавачів за встановлений проміжок часу.
Вважатимемо, що наші оператори і радисти противника мають високу кваліфікацію, добре натреновані. Отже, можна прийняти, що інтенсивність виявлення частот передавачів противника і втрат стеження - постійні. Виявлення частоти та її втрата залежать тільки від того, скільки запеленговано передавачів зараз і не залежать від того, коли відбулося це пеленгування.Отже, процес виявлення та втрат стеження за частотами можна вважати безперервним однорідним марківським процесом.
Досліджувана властивість цієї системи пеленгації: завантаженість операторів, що очевидно, збігається з числом виявлених частот.
- кількість операторів;
- кількість передавачів супротивника, вважаємо;
- середня кількість операторів, які ведуть стеження;
- середня кількість запеленгованих передавачів;
- Інтенсивність пеленгації передавача противника одним оператором;
- Інтенсивність потоку втрат стеження оператором;
- поточна чисельність запеленгованих передавачів
У системі пеленгації можливі такі стани:
- запеленгованих передавачів немає, пошук ведуть операторів, ймовірність стану;
- запеленгований 1 передавач, пошук ведуть операторів, можливість стану ;
- запеленговані 2 передавачі, пошук ведуть операторів, ймовірність стану;
- запеленговані передавачі, ймовірність;
- запеленговані передавачі, ймовірність
Мета моделювання - досягається обчисленням:
Як і прикладі 2.3 вважаємо, що одночасне виявлення чи втрата двох і більше частот практично неможливо. Граф станів системи показано на рис. 2.7.
Граф відповідає процесу " загибелі і розмноження " , повнозв'язний, число станів системи, звісно, отже, режим, і граничні значення ймовірностей у системі пеленгації існують.
Нехай, наприклад, кількість операторів, а кількість передавачів супротивника. І тут граф станів має вигляд (рис. 2.8):
Для спрощення обчислень приймемо. Тоді для цієї схеми "загибелі та розмноження" за залежностями (2.2) маємо:
Таким чином, уумовах даного прикладу в середньому пеленгуватимуться не менше двох передавачів противника.
Безперервний марківський процес повністю визначається значеннями щільностей ймовірностей переходів, раніше був встановлений їхній фізичний зміст як інтенсивності потоків подій, що переводять систему з одного стану в інший. Потік подій у однорідних безперервних марківських процесах характеризується експоненційним законом розподілу випадкових інтервалів між подіями. Такий потік називають найпростішим або стаціонарним пуассонівським.
Найпростіший потік має властивості:
- стаціонарності, що означає незалежність показників потоку від часу;
- ординарності, що означає практичну неможливість появи двох і більше подій одночасно;
- відсутності післядії, про це йшлося на початку теми.
Боєв В.Д., Сипченко Р.П. Комп'ютерне моделювання
1. Електромагнітна хвиля (у релігійній термінології релятивізму - "світло") має строго постійну швидкість 300 тис.км/с, абсурдно не відлічувану ні від чого. Реально ЕМ-хвилі мають різну швидкість речовини (наприклад,
200 тис км/с у склі та
3 млн. км/с у поверхневих шарах металів, різну швидкість в ефірі (див. статтю "Температура ефіру та червоні зміщення"), різну швидкість для різних частот (див. статтю "Про швидкість ЕМ-хвиль")
2. У релятивізм "світло" є міфічне явище саме по собі, а не фізична хвиля, що є хвилюванням певного фізичного середовища. Релятивістське "світло" - це хвилювання нічого в нічому. У нього немає середовища-носія коливань.
3. У релятивізм можливі маніпуляції з часом (уповільнення), тому там порушуються основоположні для будь-якої науки принцип причинності та принцип сувороїлогічності. У релятивізм при швидкості світла час зупиняється (тому в ньому абсурдно говорити про частоту фотона). У релятивізмі можливі такі насильства над розумом, як твердження про взаємне перевищення віку близнюків, що рухаються із субсвітловою швидкістю, та інші знущання з логіки, властиві будь-якій релігії.