Що таке алгебра, математичні дослідження
Алгебра - частина математики, яка вивчає загальні властивості дій над різними величинами та розв'язання рівнянь, пов'язаних з цими діями.
Ще складніші завдання вміли вирішувати початку II тисячоліття до зв. е. у Стародавньому Вавилоні: у математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних пластинках, є квадратні та біквадратні рівняння, системи рівнянь із двома невідомими і навіть найпростіші кубічні рівняння. При цьому вавилоняни також не використовували літер, а наводили рішення «типових» завдань, з яких розв'язування аналогічних завдань виходило заміною числових даних. У числовій формі наводилися і деякі правила тотожних перетворенні. Якщо при вирішенні рівняння треба було витягувати квадратний корінь з числа я, що не є точним квадратом, знаходили наближене значення кореня х: ділили а на х і брали середнє арифметичне чисел х і а/г.
Перші загальні твердження про тотожні перетворення зустрічаються у давньогрецьких математиків, починаючи з VI ст. до н.е. Серед математиків Стародавню Грецію прийнято висловлювати все алгебраїчні твердження у геометричній формі. Замість складання чисел говорили про складання відрізків, добуток двох чисел тлумачили як площу прямокутника, а добуток трьох чисел-як обсяг прямокутного паралелепіпеда. Алгебраїчні формули набували вигляд співвідношень між площами та обсягами. Наприклад, говорили, що площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на цих відрізках, збільшеній на подвоєну площу прямокутника, побудованого на цих відрізках, З того часу йдуть терміни «квадрат числа» (тобто. добуток величини на саму себе), «куб числа», «середнє геометричне». Геометричну форму набуло у греків і рішенняквадратних рівнянь-вони шукали сторони прямокутника за заданим периметром і плошали.
Більшість завдань вирішувалося у Стародавній Греції шляхом побудов циркулем та лінійкою. Але не всі завдання піддавалися такому рішенню. Наприклад, «не вирішувалися» задачі подвоєння куба, трисекції кута, завдання побудови правильного семикутника (див. Класичні задачі давнини). Вони призводили до кубічних рівнянь виду xJ = 2. 4х3 - Зх = а і х3 + -fx2 - 2х - 1 = 0 відповідно. Для розв'язання цих завдань було розроблено новий метод, пов'язаний із відшуканням точок перетину конічних перерізів (еліпса, параболи та гіперболи).
Геометричний підхід до алгебраїчним проблемам сковував подальший розвиток науки, так як, наприклад, не можна було складати величини різних розмірностей (довжини і площі або площі та обсяги), не можна було говорити про твір більш ніж трьох множників і т.д. Відмова від геометричного трактування намітився у Діофанта Олександрійського, який жив у ІІІ ст. У його книзі «Арифметика» з'являються зачатки літерної символіки та спеціальні позначення для ступенів невідомого аж до 6-го. Були в нього й позначення для ступенів із негативними показниками, позначення для негативних чисел, а також знак рівності (особливого знаку для складання ще не було), короткий запис правил множення позитивних чи негативних чисел. На подальший розвиток алгебри сильний вплив надали розібрані Діофантом завдання, що призводять до складних систем рівнянь алгебри, в тому числі до систем, де число рівнянь було менше числа невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише позитивні раціональні рішення.
З VI ст. центрматематичних дослідженьпереміщається до Індії та Китаю, країн Близького Сходу та Середньої Азії. Китайські вчені розробилиметод послідовного виключення невідомих на вирішення систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного рішення рівнянь вищих ступенів. Індійські математики використовували негативні числа та вдосконалили буквену символіку. Однак лише у працях вчених Близького Сходу та Середньої Азії алгебра оформилася у самостійну галузь математики, яка трактує питання, пов'язані з розв'язанням рівнянь. У ІХ ст. узбецький математик та астроном Мухаммед ад-Хорезмі написав трактат «Кітаб аль-джебр валь-мука-балу», де дав загальні правила для вирішення рівнянь першого ступеня. Слово "аль-джебр" (відновлення), від якого нова наука алгебра отримала свою назву, означало перенесення негативних членів рівняння з однієї його частини до іншої зі зміною знака. Вчені Сходу вивчали і рішення кубічних рівнянь, хоча зуміли отримати загальної формули їхнього коріння.
У Європі вивчення алгебри розпочалося ХХ в. Одним із великих математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (бл. 1170-після 1228). Його «Книга абака» (1202)-трактат, який містив відомості про арифметику та алгебру до квадратних рівнянь включно (див. Числа Фібоначчі). Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських учених було відкриття XVI в. формули для розв'язання кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів С. дель Ферро, Н. Тарталья та Дж. Кардано. Учень останнього - Л. Феррарі вирішив і рівняння 4-го ступеня (див. Алгебраїчне рівняння). Вивчення деяких питань, пов'язаних із корінням кубічних рівнянь, призвело італійського алгебраїста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел.
Відсутність зручної та добре розвиненої символіки сковувало подальший розвиток алгебри найскладніші формули доводилося викладати условесної форми. Наприкінці XVI ст. французький математик Ф. Вієт ввів літерні позначення не голько для невідомих, але й довільних постійних, Символіка Вієта була вдосконалена багатьма вченими. Остаточний вигляд їй надав на початку XVII ст. французький філософ і математик Р Декарт, який шп (вживані і донині) позначення для показників ступенів.
Поступово розширювався запас чисел, із якими можна було робити дії. Завойовували права громадянства негативні числа, потім комплексні, вчені почали вільно застосовувати ірраціональні числа (див. Число). При цьому виявилося, що, незважаючи на таке розширення запасу чисел, встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають свою силу Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми.
Усе це дозволило розглядати питання розв'язання рівнянь у найзагальнішому вигляді, застосовувати рівняння до розв'язання геометричних завдань. Наприклад, завдання знайти точку перетину двох ліній звелася до вирішення системи рівнянь, яким задовольняли точки цих ліній. Такий метод розв'язання геометричних завдань отримав назву аналітичної геометрії.
Розвиток буквеної символіки дозволило встановити загальні твердження, що стосуються рівнянь алгебри: теорему Безу про ділимості многочлена Р(х) на двочлен х - а, де а-корінь цього многочлена; співвідношення Віста між корінням рівняння та його коефіцієнтами; правила, що дозволяють оцінювати число дійсних коренів рівняння, загальні методи виключення невідомих із систем рівнянь тощо.
Особливо далеко було просунуто у XVIII ст. розв'язання систем лінійних рівнянь для них були отримані формули, що дозволяють висловити рішення через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчено! таких системрівнянь призвело до створення теорії матриць та визначників. Наприкінці XVIII ст. було доведено, що будь-яке рівняння алгебри з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь, Це твердження носить назву основної теореми алгебри.
Протягом двох з половиною століть увага алгебраїстів була прикута до завдання про виведення формули для вирішення загального рівняння 5-го ступеня. Треба було висловити коріння цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і витягів коренів (вирішити рівняння в радикалах). Лише на початку ХІХ ст. італієць П. Руффіні та норвежець Н. Абель незалежно один від одного довели, що такої формули не існує. Один з найбільших математиків К. Гаусс з'ясував, за яких умов можна побудувати циркулем і лінійкою правильний н-кутник: питання виявилося пов'язаним з вивченням коренів рівняння х" = 1 З'ясувалося, що це завдання можна розв'язати лише у випадку, коли число п є простим числом Ферма або твором кількох різних простих чисел Ферма (простими числами Ферма називаються прості числа, представлені у вигляді + 1; досі відомі лише п'ять таких чисел 3, 5, 17, 257 65 537).Тим самим молодий студент (Гауссу було на той час лише 19 років) вирішив завдання, яким безуспішно займалися вчені понад два тисячоліття.
На початку ХІХ ст. були вирішені основні завдання, що стояли перед алгеброю у першому тисячолітті її розвитку. Вона отримала самостійне обґрунтування, що не спирається на геометричні поняття, і, більше того, методи алгебри стали застосовуватися для вирішення геометричних завдань. Було розроблено правила літерного обчислення для раціональних та ірраціональних виразів, з'ясовано питання про розв'язання рівнянь у радикалах та побудовано строгу теорію комплексних чисел. Поверхневомуспостерігачеві могло здатися, що тепер математики будуть вирішувати нові та нові класи рівнянь алгебри, доводити нові алгебраїчні тотожності і т.д. Однак розвиток алгебри пішов іншим шляхом: з науки про літерне обчислення та рівняння вона перетворилася на загальну науку про операції та їх властивості.
З операціями, властивості яких лише частково нагадують властивості арифметичних операцій, математики в XIX ст. зіткнулися і в інших питаннях. У 1858 р. англійський математик А. Келі ввів загальну операцію множення матриць та вивчив її властивості. Виявилося, що до множення матриць зводяться і багато операцій, що вивчалися раніше. Англійський логік Дж. Буль у середині ХІХ ст. почав вивчати операції над висловлюваннями, що дозволяли з цих двох висловлювань побудувати третє, а кінці ХІХ ст. німецький математик Г Кантор ввів операції над множинами: об'єднання, перетин тощо. Виявилося, що як операції над висловлюваннями, так і операції над множинами володіють властивостями комутативності (переміщальності), асоціативності (сполучності) та дистрибутивності (розподільності), але деякі їх властивості не схожі на властивості операцій над числами.
Отже, протягом ХІХ ст. у математиці виникли різні види алгебр: звичайних чисел, комплексних чисел, кватерніонів, матриць, висловлювань, множин тощо. Кожна мала свої правила, свої тотожності, свої методи розв'язання рівнянь. При цьому для деяких видів правил алгебри були дуже схожими. Наприклад, правила алгебри раціональних чисел не відрізняються від правил алгебри дійсних чисел. Саме тому формули, які в VI класі встановлюють для раціональних значень букв, виявляються вірними й у будь-яких дійсних (і навіть будь-яких комплексних) значень тих самих букв. Одноманітними виявились і правилав алгебрі висловлювань та в алгебрі множин. Усе це спричинило створення абстрактного поняття композиції, тобто. операції, яка кожній парі (о, Ь) елементів деякої множини X зіставляє третій.
Вивчення властивостей композицій різного виду призвело до думки, що основне завдання алгебри-вивчення властивостей операцій, які розглядаються незалежно від об'єктів, до яких вони застосовуються. Іншими словами, алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості законів композиції, властивості операцій. При цьому дві множини, у кожному з яких задані композиції, стали вважатися тотожними з погляду алгебри (або, як кажуть, «ізоморфними»), якщо між цими множинами можна встановити взаємно-однозначну відповідність, яка перекладає один закон композиції до іншої. Якщо дві множини з композиціями ізоморфні, то, вивчаючи одне з них, ми дізнаємося про властивості алгебри іншого.
Оскільки сукупність різних множин із заданими в них законами композиції неосяжна, були виділені типи таких множин, які хоч і не ізоморфні один одному, але мають спільні властивості композиції. Наприклад, вивчивши властивості операцій складання та множення у множинах раціональних, дійсних та комплексних чисел, математики створили загальне поняття поля-множини, де визначено ці дві операції, причому виконуються їх звичайні властивості. Дослідження операції множення матриць призвело до виділення поняття групи, що є зараз однією з найважливіших у алгебрі, а й у всій математиці.
У наші дні алгебра - одна з найважливіших частин математики, що знаходить додатки як у суто теоретичних галузях науки, так і в багатьох практичних питаннях.
Так виникла геометрична алгебра. Геометричнаалгебрапридатна не тільки до сумірних,але і до несумірних відрізків і тим не менш є точною наукою.
Могутня математика. Основиалгебри. Вважається, що елліни запозичували перші відомості з алгебри у вавилонян.
. видавця та письменника Олександра Івановича Герцена (1812-1870), який говорить так про філософію Гегеля (ч. 4, гл. 25): «Філософія Гегеля -алгебрареволюції.
Дмитро Самін. Могутня математика. Основна теоремаалгебри. «Основна теоремаалгебрияк твердження: алгебраїчне рівняння має стільки коренів.