Системи із запізненням
Рівняння відповідної ланки із запізненням τ матиме вигляд:
Воно називається диференціально-різносним.
Позначимо $x^*(t)=x(t-τ)$, тоді рівняння (2) запишеться у звичайному вигляді:
Отже, його перехідна характеристика відповідає аперіодичній ланці (рис. 1в), але затримана на τ с, що визначено затримкою впливу $x^*(t)$ (рис. 1б).
- Тимчасова характеристика будь-якої ланки із запізненням буде така сама, як у відповідної звичайної ланки, але тільки зрушена по осі часу праворуч на величину τ.
- Величину запізнення у ланці можна визначити експериментально, шляхом зняття тимчасової характеристики.
Приклад системи з транспортним запізненням
ПФ ланки чистого запізнення
Властивості ланки такі, що $y(t)=x(t-τ)$, де τ – запізнення , а $x(t-τ)=0$ за $0 \t t \lt τ$.
Розкладемо праву частину рівняння (тобто вихідний сигнал) до ряду Тейлора:
,
,
.
Апроксимація ланки чистого запізнення
Порівняємо перехідні функції аперіодичної ланки із запізнілим аргументом і аперіодичної ланки 2-го порядку:
Оскільки вони схожі, у наближених розрахунках можна здійснювати заміни передавальних функцій ланок.
У деяких випадках застосовується прийом обліку великої кількості $N$ ланок у системі з малими постійними часу $ΔT_i$ і одиничним коефіцієнтом передачі, однією ланкою з постійним запізненням, що дорівнює сумі цих постійних часу $τ=∑ΔT_i≈N·ΔT$. Тобто:
Якщо $N→∞$, то межі отримаємо $W(s)≈e^$. Вже за $N=8÷10$ ступінь наближення високий. Ряд буде точнішевідповідати розкладанню в ряд функції $e^$, якщо його представляти не аперіодичними, а фазозсувними ланками.
Розмикання систем із запізненням
Більшість методів дослідження стійкості або якості систем як вхідна інформація використовують ПФ системи для розімкнутого стану $W(s)$. Ланка чистого запізнення є нелінійним елементом, і ускладнює як аналітичний аналіз систем, і машинний (програми математичного моделювання що неспроможні виконувати функції аналізу для систем з нелінійними елементами). Тому або використовують лінеаризовані апроксиматори ланки чистого запізнення, або розмикають систему в тій галузі, яка містить ланку чистого запізнення, щоб ПФ мала вигляд: $W(s)=W_о(s)×e^$, де $W_о(s)$ – ПФ частини системи без запізнення.
Розглянемо і розімкнемо системи з основними варіантами включення ланки чистого запізнення - послідовним, паралельним і в ланцюзі ОС:
Якщо ланки чистого запізнення є у різних гілках структурної схеми, то досліджень використовують їх апроксиматори і машинні методи аналізу.
Частотні властивості систем із запізненням. Поняття про критичне запізнення
Перейдемо до частотного домену:
- Таким чином, наявність ланки із запізненням не змінює модуля, а лише вносить додатковий фазовий зсув ($-ωτ$).
- З графіка видно, що ланка $e^$ закручує вихідний годограф $W_о(jω)$ за годинниковою стрілкою, що погіршує умови стійкості.
- За наявним годографом $W_о(jω)$ можна визначити критичне значення запізнення $τ_$:
Стійкість систем із запізненням
Розглянемо замкнуту систему:
За знаменником ПФ $Φ(jω)$ видно,що у загальному випадку характеристичне рівняння матиме множник $e^$, який визначає можливість наявності нескінченної кількості коренів (див. петлі годографа Михайлова $D(jω)$).
Як і раніше, для стійкості вони повинні мати негативні речові частини.
- Для стійкості систем 1-го і 2-го порядку із запізненням мало позитивності коефіцієнтів.
- Для систем третього і більше систем не застосовні критерії Вишнеградського, Рауса, Гурвіца.
Про дослідження точності систем із запізненням
