Складання синусоїдальних величин
Насправді часто доводиться складати синусоїдальні струми, напруги, ЭДС та інші величини.
Визначимо змінний струмiяк суму кількох змінних струмів спочатку аналітично, а потім використовуючи векторний метод.
Рис.64Схема вузла електричного ланцюга
Аналітичний метод. Для аналітичного складання необхідно зробити алгебраїчне додавання їх миттєвих значень. Із закону Кірхгофа випливає, що загальний струм
(5-3)
Нехай і
Спростимо завдання і припустимо, що
Тоді
Позначимо.
Тоді в остаточному вигляді:
(5-4)
Звідки видно, що в результаті складання двох синусоїдальних струмів результуючий (загальний) струм має ту ж частоту, амплітуду рівну Imі початкову фазу α.
Векторний метод. Для складання двох синусоїдальних величин, заданих векторами, необхідно провести геометричне підсумовування цих векторів, користуючись правилом паралелограма, тобто.
З рис. 65 слід, що при додаванні двох векторів, що обертаються з однаковою частотою ω, результуючий вектор обертається з тією ж частотою.
Для визначення результуючої амплітуди при векторному додаванні двох синусоїдальних величин, зрушених по фазі, необхідно скористатися теоремою косінусів.
(5-5)
де α2 – α1 = φ –зсув фаз між синусоїдальними величинами.
Початкову фазу результуючого вектора α визначимо із співвідношення
. (5-6)
Для випадку із рівняння (5-5) слід:
Далі визначимо початкову фазу результуючого вектора
. (5-7)
Таким чином, використовуючи графічний метод, ми отримали той самий результат, що й у разі вирішення задачі аналітичним методом (див. ур. 5-4).
Метод комплексних чисел. Комплекси амплітуди першого та другого струмів у тригонометричній формі
Комплекс результуючого струму
Звідки миттєве значення результуючого струму
Середнє значення синусоїдальних величин
Часто для технічних розрахунків виявляється недостатнім знання миттєвого чи амплітудного значення синусоїдальної величини, тому додатково запроваджується поняття середнього значення.
Середнім значеннямзмінного струму за деякий часt називають таке значення постійного струму, при якому за однаковий проміжок часу через поперечний переріз провідника проходить однакова кількість електрики. Тобто. середнє значення змінного струмуІсвизначається через зіставлення з кількістю заряду, що пройшов через провідник при протіканні постійного струму.
Аналітично це можна так:
Q=Iсрt=(5-11)
З рис.66 випливає, що середнє значення струму визначається з умови рівності площі, що охоплюється постійною ординатою і віссю абсцис, і площі під кривою синусоїдальної за час t. Графічно середній струм виражається висотою (Iср) прямокутника з рівним підставоюt. Причому площа цього прямокутника дорівнює площі обмеженою кривою струму і віссю абсцис за часt.
Середнє значення синусоїдальної величини за час, що дорівнює періоду, дорівнює нулю:
IсрT== 1/T= 1/Tw=Im/Tw(-coswt/0 T )=Im/Tw(-сos(2π/T)∙T+cos0) = 0.
Це підтверджується підсумовуванням площ синусоїди. Тобто.середнє значення синусоїдальної величини за період дорівнює нулю. Тому середнє значення зазвичай розраховується за час, що дорівнює половині періоду. Тоді
IсрT/2 =; →Iср= 2/T= 2/T∙Im/ω= 2Im/Tωcos/0 T 2 = 2Im/Tω(1+1) = 2/π ∙Im. (5-12)
ДІЄ ЗНАЧЕННЯ СИНУСІЙНИХ ВЕЛИЧИН.
При розрахунках електричних ланцюгів крім миттєвого, амплітудного та середнього значень синусоїдальної величини дуже часто використовуєтьсядіючезначення, яке надалі будемо позначати великими літерами без індексів, тобто I, U, E. Зазначимо, що більшість приладів, які використовуються для вимірювань у ланцюгах змінного струму (амперметри, вольтметри, ватметри і т.д.), проградуйовані в діючих значеннях.
Чинним значенням синусоїдального струму називають таке значення постійного струму, при якому за однаковий проміжок часу в резистивному елементі виділяється така кількість теплоти, як і при змінному струмі.
З визначення випливає
Rdt, (5-17)
де R - активний опір елемента ланцюга, I - величина постійного струму, що дорівнює діючому значенню.
Так як
то I = dt =. (5-18)
Понизимо ступінь за функції синуса, тобто.
sin 2 wt = ½(1-cos2wt).
I = – 1/2).
Т.к. інтеграл (1/2)) будь-якої синусоїдальної функції, взятий у межах цілого числа періодів дорівнює нулю, то
I===Im/= 0,707Im. (5-19)
Аналогічно можна записати
U = Um / = 0,707 Um; (5-20)
E = Em / = 0,707 Em. (5-21)
Таким чином, діюче значення синусоїдальної величини в раз менше її амплітудного значення.