Стрічка Мебіуса - 30 Липня 2011, Земля - Хроніки життя
30.07.11Мабуть, найпершу незвичайну фігуру вигадав у середині ХIX століття Август Мебіус. Це був так званий «лист Мебіуса», або «стрічка Мебіуса» - дуже проста і в той же час дуже дивна конструкція.
Легко переконатися, що у цієї фігури лише одна поверхня!
Уявіть собі що, наприклад, стрічкою Мебіуса біжить мурашка. Втім, зробимо простіше: подивимося на стрічку Мебіуса, зображену на добре відомому малюнку Моріса Ешера.
Зробивши коло, мурашка вдається до того ж місця, звідки він почав рух, але при цьому виявляється з протилежного боку плоскої стрічки! Звичайно, пробігши ще одне коло, він повернеться до точки старту. (Звичайно ж, передбачається, що мураха не може перебратися через край стрічки.)
Зробивши коло, мурашка вдається до того ж місця, звідки він почав рух, але при цьому виявляється з протилежного боку плоскої стрічки! Звичайно, пробігши ще одне коло, він повернеться до точки старту. (Звичайно ж, передбачається, що мураха не може перебратися через край стрічки.)
Німецький геометр та астроном, професор Лейпцизького університету. Основні праці з геометрії. Вперше ввів у проективну геометрію систему координат та аналітичні методи дослідження, отримав нову класифікацію кривих та поверхонь, встановив загальне поняття проективного перетворення, досліджував корелятивні перетворення. Вперше встановив існування односторонніх поверхонь.
Ходить чутка, що Мебіусу спала на думку ідея про цю незвичайну геометричну фігуру, коли він побачив покоївку, що неправильно пов'язала свою шийну хустку. Ну, що ж, можливо, можливо! Адже Ісаак Ньютон теж тягнув із відкриттям всесвітнього закону тяжіння, поки йому на голову незвалилося яблуко. Заради справедливості, треба зауважити, що сама фігура, звана всіма стрічкою Мебіуса, одночасно і незалежно в тому ж 1858 була побудована і іншим німецькими математиком Йоганном Бенедиктом Лістингом (1808-1882), який, до речі, пустив у математичний побут і термін "топологія".
Стрічка Мебіуса одразу ж привернула увагу математиків. Однією з цікавих завдань є така: якої довжини (при заданій ширині) має бути смужка, щоб її можна було згорнути в аркуш Мебіуса? Дуже важливе практичне питання, чи не так?
Але справа не обмежується простою «класичною» стрічкою Мебіуса. Склейте стрічку Мебіуса із широкої смужки паперу та спробуйте розрізати її вздовж по середній лінії. Початкова фаза розрізання показано на лівому малюнку. А коли ви розріжете це кільце до кінця, то… побачите знову стрічку Мебіуса, щоправда, більш «загвинчену» (правий малюнок). Але мураха, почавши повзти, знову пробіжить по обидва боки смужки і повернеться в точку старту.
Все залежить від того, наскільки закручена стрічка. При одному скручуванні від простого кільця ми переходимо до стрічки Мебіуса.
Ну а що ж вийде при подвійному повороті стрічки перед склеюванням? Виявляється, що в цьому випадку виходить просто закручене кільце. Але якщо стрічку повернути перед склеюванням ще раз у тому напрямку. То знову вийде стрічка Мебіуса, але вже закручена!
Для зручності пояснення суті операцій, що виробляються, обрана стрічка, одна сторона якої біла, а друга – сіра. Тоді цілком зрозуміло, що хоч би скільки разів ми скручували стрічку, якщо виявиться що її так, що на стику «зустрілися сторони з одним і тим же кольором, то це означає, що у склеєної стрічки буде дві поверхні – однабіла, інша сіра, тобто. буде утворено кільце з гвинтоподібною утворювальною стрічкою. Якщо ж на стику при склеюванні сіра сторона зустрінеться з білою, то після склеювання ми отримаємо вже стрічку Мебіуса, хоча й теж хитромудру. У неї буде лише одна поверхня: адже Ешеровська мураха бігаючи білою стороною, добігає врешті-решт до кордону, де починається сіра сторона і продовжує бігти вже нею.
Цікаві й властивості ланцюгів, утворених плоскими кільцями та стрічками Мебіуса.
З'єднаємо щільно два звичайні плоскі кільця і запустимо Ешеровського мурахи повзати по зовнішній поверхні лівого кільця. Коли він доповзає до місця з'єднання кілець, він може перебратися на внутрішню поверхні другого кільця. Якщо ж запустити другу мурашку на внутрішню поверхню лівого кільця, він може перебратися на зовнішню поверхню правого кільця. Інакше кажучи, ці дві мурахи ніколи не зустрінуться – кожен повзатиме по своїй поверхні.
Зрозуміло, якщо таким чином побудувати ланцюг плоских кілець або ланцюг зі стрічок Мебіуса, то ці властивості у них збережуться.
Зі стрічкою Мебіуса можна продовжити цікаві експерименти і далі. Зробіть заготовку з аркуша паперу, як показано на малюнку. Розріжте по лініях, а потім кожну з смужок, що виходять, не відокремлених від основної частини, згорніть в лист Мебіуса. Вийде така багатоповерхова конструкція.
Звісно, малюнку дано схематичне уявлення отриманої структури. Реальна «фракталоподібна» фігури такого типу виглядає набагато хитромудріше.
Ось по такому «кущі Мебіуса» мураха б вдосталь подорожувала! Подібного роду багатоярусних і вкладених одна в одну стрічок Мебіуса можна понадумати, звичайно, дуже багато.
УВисновок наведемо ще зразок фігури, яка має властивості стрічки Мебіуса і при цьому жодна зі сторін не скручена. Звичайно, без маленьких хитрощів справа не обійшлася: потрапити із зовнішнього боку на внутрішню можна «ескалатором» у центрі кільця.
«Діряве» кільце, що має властивості стрічки Мебіуса.
Дуже легко подібне кільце зробити навіть з двома ескалаторами, що забезпечить можливість мурашкою зробити повний цикл, не побувавши жодного разу в одній і тій же точці (якщо, звичайно, він не робитиме петель, а рухатиметься тільки вперед).