Тема 3 Семантика ЯКЛВ
У класичній логіці при інтерпретації формул введеної мови приймаються такі положення.
Принцип функціональності Значення висловлювання цілком визначається значеннями висловлювань, що входять до його складу.Принцип несуперечності Одне висловлювання може бути оцінено одночасно як істинне і як хибне.
Принцип повноти Будь-яке висловлювання обов'язково оцінюється як істинне чи хибне (не може бути висловлювання, яке отримало б жодну з цих оцінок).
Оцінки їх змінних послідовностей
Для кожної змінної є два способи її оцінити: їй приписується або об'єкт «істина» (і), або «брехня» (л). Наприклад, для змінної р:
Для двох змінних існує 4 способи їхньої спільної оцінки.
Оцінка j1 означає припущення, що два висловлювання - p і q - обидва істинні, оцінка j4 - що обидва висловлювання помилкові. Оцінка j3 задає ситуацію, коли перше з висловлювань істинно, а друге – хибно; оцінка j3 – подвійну. Очевидно, що приймаючи принципи несуперечності та повноти жодної оцінки, відмінної від перерахованих, не існує.
У випадкудля n змінних число їх можливих спільних оцінок = 2 n. Так, трьох змінних існує (2 3 =) 8 способів їх оцінити, тобто. 8 функцій оцінок; для чотирьох - (2 4 =) 16, для 5 - (2 5 =) 32 і т.д.
Наведемо всі можливі функції оцінок трьох змінних.
Скажімо, j5 задає ситуацію, коли з трьох висловлювань хибно лише перше: j5(р) =л, j5(q) =і, j5(r) =и.
Для того, щоб визначити істинне значення будь-якої структури речення (або речення) треба знати:
(а) значення всіх змінних, що входять до її складу (або значення всіх простих речень, що входять до його складу);
(б) як логічні зв'язки обчислюють значення структури (пропозиції) щодо елементарних складових.
Умова (а) – завдання всіх можливих значень деяких змінних – було розглянуто вище. Тепер дамо визначення логічних зв'язок.
Таблічне визначення логічних зв'язок
Ú- сувора диз'юнкція, АÚВ читається «або А, або В». Нестрога диз'юнкція (Ú) - невиключна, структура виду АÚВ розуміється «вірно А або В (або те й інше)».
Зверніть увагу: вище логічними зв'язками з'єднувалися символи А і В, - але серед вихідних символів А і В немає. Коли вводять позначення для довільних формул (А, В, С і т.д. або, наприклад, φ, ψ, φ1[7] і т.д.) говорять просхеми формул. Так, вираз А&В має на увазі будь-яку формулу, в якій головний знак – кон'юнкція, наприклад, p&(q⊃Ør), q&Ør, (s ≡ (p&(q⊃Ør)))& (Øs1ÚØs2). Про довільні формули ЯКЛВ ми не можемо говорити цією мовою: у цій мові ми не маємо можливості висловити інформацію «будь-яка», «довільна». У мові КЛВ ми можемо сказати, що деяке висловлювання (формула) істинна чи хибна і ще багато чого «не можемо». Висловлювання про мову КЛВ формулюються в іншій – багатшій – мові.
Вправи
11. Знайти істинне значення наступних висловлювань
а) + Москва – столиця Укаїни, а Рим – столиця Греції.
б) Москва – столиця Укаїни, чи Рим – столиця Данії.
в) Якщо 11 ділиться на 3, 11 ділиться на 6.
г) Якщо 15 ділиться на 3, то 15 ділиться на 6.
д) 11ділиться на 3 і тоді, коли 15 ділиться на 6.
е) Якщо Майк Тайсон негр, то всі негри.
ж) Якщо Петро I – негр, всі негри.
Пояснимо тепер, про який недолік йшлося вище, коли було сказано, що деякі пропозиції видуЯкщо А, то В,А тільки якщо В,А необхідна/достатня умова для будуть істинними з точки зору побудованої логічної системи, але їх буде важко назвати істинними з точки зору здорового глузду.
(*)Якщо населення Москви більше мільйона, то в Африці мешкають бегемоти.
Населення Москви більше мільйона- істина.
В Африці мешкають бегемоти- істина.
За визначенням імплікації, якщо і А, і В істинні, пропозицію структури А В приписується значення «істинно», значить висловлювання (*) – істинно. Далі, А ES можна прочитати як (1) У є необхідна умова для А, тобто. наявність бегемотів в Африці є необхідною умовою для того, щоб населення в Москві було більше мільйона, а також як (2) А є достатня умова для, тобто. той факт, що в Москві живе така кількість людей, гарантує, що в Африці ми знайдемо гіпопотамів. Цей приклад (ви розумієте, що можна навести скільки завгодно аналогічних) показує, що введена зв'язка не цілком відповідає тому, що ми маємо на увазі, кажучиякщо - то,необхідна умова,достатня умова і т.д. Такі «витрати» пов'язані з тим, що коли в логіці висловлювань ми переходимо від структури речень до конкретних речень, жодних обмежень на пропозиції не вводиться і замість А і В в А & В, А É В, А Ú В і т.д. можна в принципі підставляти будь-які пропозиції. (Можна запровадити обмеження: нехай А і В будуть пов'язані за змістом, але це найскладнішазавдання – змоделювати змістовний зв'язок між висловлюваннями, оперуючи лише їх структурною інформацією.) Потім, класична логіка при визначенні сенсу умовного зв'язку виходить із вимоги: блокується тільки випадок, коли з істини слід брехня. Ситуації, коли інтуїтивна пропозиція з умовним зв'язком хибна, а нашої теорії воно істинно, ми отримаємо. Нарешті зауважимо, що всяка теорія моделює об'єкт дослідження і не може відобразити всі властивості: з якимись властивостями працюємо, щось (важливе для вирішення тих чи інших завдань) беремо до уваги, від чогось абстрагуємося .
12. Знайдіть значення формули (Ø É q) & (Øq É Ør) за наступних оцінок:
Чи можна на підставі значень даної кон'юнктивної формули при ?1 і ?2 зробити висновок про її логічний статус (див. нижче про логічний статус формул)?
Визначення, пояснення та приклади
Логічний статус формул
У логічній теорії класична логіка висловлювань (скорочено - КЛВ) все формули – структури речень – розбиваються на три класи, що не перетинаються:
- логічні закони (=тотожно-справжні формули)
- логічні протиріччя (=тотожно-хибні формули)
- логічно недетерміновані формули.
Формула А єзакон КЛВ, абологічний закон, тобто. вона приймає значення «істина», за будь-якої оцінки змінних, що входять до її складу. (Менш суворо: логічні закони – це такі структури (пропозицій), які можуть породжувати лише справжні пропозиції; хибних пропозицій таких структур немає.)
Формула А єлогічне протиріччя, абототожно-хибна, тобто. вона набуває значення«брехня», за будь-якої оцінки змінних, які входять до її складу. (Менш суворо: логічні протиріччя – це такі структури (пропозицій), які можуть породжувати лише хибні пропозиції; справжні пропозиції таких структур немає.)
Формула А єлогічно недетермінована, тобто. існує оцінка змінних, які входять до її складу, коли вона істинна, і є оцінка змінних, у яких вона набуває значення «брехня». (Менш суворо: логічно недетерміновані формули – це такі структури (пропозицій), яким відповідають як справжні пропозиції природної мови, і помилкові.)[9]
Термінологічно також виділяються структури, які можуть породити хоча б одну справжню пропозицію. Такі структури називаютьсяздійсненними. Суворіше: формулаздійсненна, тобто. Існує оцінка змінних, що входять до її складу, при якій формула набуває значення «істина».
Вправи
13. Що вам підказує ваша інтуїція, який логічний статус нижченаведених формул – логічний закон (ЛЗ), логічне протиріччя (ЛП) чи логічно недетермінована формула (ЛН)? Заповніть перший стовпець таблиці.
Тепер встановіть логічний статус формул за допомогою таблиць істинності, заповніть другий стовпець таблиці результатами і порівняйте їх.
1. + Ø(pÚq) º (ØрÚØq)
3. + Ø(р & q) º (q & р)
4. + ((р Ú Øq) & r) É (q & Ør)
9. (р É q) º (q É p)
10. Ø(p & q) º (Øр & Øq)
12. ((р Ú (q Ú r)) º ((р Ú q) Ú r)
13. Ø(p É q) º (р & Øq)
14. ((р É q) & (р É r)) É ((Øq Ú Ør) É Øp)
15. ((рÚqÚr) ºs) É ((pºs) & (qºs) & (rºs))
14. Використовуючи закони асоціативності для & іÚ опустіть максимальну кількість дужок у формулах.
(a)+ (((рÚ(q & r))Úq)Ú(((s&r)Úp)&q1)) É (((p&s) & (q& ;s)) & (rÚs))
(b) ((р U (q & r)) U (s&(r&s1))) É (((p &s) & (q &(rUS)) & s))
15. Для наступних формул вирішіть питання про їхній логічний статус (чи є кожна з них тотожно-істинною, тотожно-хибною або логічно недетермінованою),не ладутаблиці істинності.
(головний знак у формулі (с) – перша зліва диз'юнкція)
Якщо істинність чи хибність висловлювань залежить не тільки від розуміння логічних зв'язок (від логіки), а й від фактів (від значення параметрів),висловлювання відносимо дологічно недетермінованим. Скажімо, пропозиція «Сьогодні холодна і морозна» логічно недетермінована, т.к. його структурі – р&q – відповідають як справжні пропозиції, так і хибні. У висловлюванні «сьогодні вівторок і не вівторок», навпаки, від фактів (який саме день тижня) нічого не залежить: висловлювання хибне, незалежно від дня тижня, коли воно вимовляється, оскільки його структура - р - породжує лише хибні пропозиції. Тоді кажемо, щовисловлювання логічно суперечливе. Якщо структура висловлювання – закон логіки, тоді цевисловлювання логічно істинно. Якщо від фактів нічого не залежить, і структура пропозиції породжує висловлювання лише одного типу лише істинні чи лише помилкові, тоді кажемо, щовисловлювання логічно детерміновано.
16. Що вам підказує інтуїція: значення (істина чи брехня) наступних речень залежать від фактів (тобто є логічно недетермінованими) або у наступних реченнях від фактів нічого не залежить, а їх(пропозицій) значення цілком визначаються їх структурою, тобто. (а) істинні через структуру (б) помилкові через структуру; (В) вони логічно недетерміновані. Спочатку вирішіть, що вам підказує інтуїція, потім встановіть відповідь, проаналізувавши їхню структурну інформацію за допомогою таблиць істинності (тобто знайдіть структуру речення і проаналізуйте її як у вправі 13.)
а)+ Якщо невірно, що не знаєш англійської, французької та німецької, значить, ти знаєш ці мови.
б) Москва – столиця України або Португалії.
в) Якщо вірно, що Москва – столиця Португалії, тоді вірно, що вона є столицею Португалії або Укаїни.
г) Або якщо йде сніг, то спекотно, або якщо спекотно, то йде сніг (або і те, й інше) [10].
д) Невірно, що якщо сьогодні – четвер, то сьогодні – четвер.
е) Якщо лекції був Р.Раскольникова чи Д.Разумихина, отже неправильно сказати, що у лекції були присутні Р.Раскольникова чи Д.Разумихин.
ж) Дощ піде в тому і тільки в тому випадку, якщо я візьму з собою парасольку, хоча невірно, що якщо я беру з собою парасольку, то дощ піде.
з) Те, що вона вивчає латину або (2-й варіант) і латину, і давньогрецьку еквівалентно тому, що вона вивчає латину.[11]