Теорема Хаусдорфа про ε-мережі
Нехай [math]X[/math] - метричний простір. Тоді приймаючи критерій Коші існування межі числової послідовності за аксіому, приходимо до поняттяповногометричного простору: [math]\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho( x, x_n) \to 0[/math]
Наприклад, у зв'язку з критерієм Коші [math]\mathbb[/math] — повний метричний простір.
Особливий інтерес представляють кінцеві [math] \ varepsilon [/ math] -мережі.
Нехай [math]K[/math] - компакт.
Припустимо, що [math]K[/math] — недостатньо обмежено.
Тоді [math]\exists \varepsilon_0 \gt 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \ge \varepsilon_0[/math] . Якщо такого [math]x_2[/math] немає, то [math]K[/math] має [math]\varepsilon_0[/math] -мережа [math]\[/math] .
Тоді знайдеться [math]x_3:\rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline[/math] . Якби такого [math]x_3[/math] не було, то у [math]K[/math] була б [math]\varepsilon_0[/math] -мережа [math]\[/math] .
І так далі. Отримуємо набір точок [math]x_1, x_2, \ldots[/math] , [math]\forall i \ne j: \rho(x_i, x_j) \geqslant \varepsilon_0[/math] .
Так як [math]K[/math] - компакт, то з цієї послідовності можна виділити схожу. Але щодо побудови послідовності це неможливо, набули протиріччя.
[math]K[/math] - замкнене і цілком обмежено.
Розглянемо будь-яку послідовність [math]x_n[/math] у [math]K[/math]. Доведемо, що з неї можна виділити схожу підпослідовність.
Так як безліч цілком обмежена, то [math] \ forall \ Varepsilon [/ Math] воно буде утримуватися в кінцевому об'єднанні куль радіусу [Math] \ Varepsilon [/ Math].
Розглянемо послідовність [math]\varepsilon_n = \frac1n[/math] . Вонасходиться до нуля.
Оскільки [math]K[/math] - цілком обмежена, то можна знайти точки [math]y_1, y_2, \ldots, y_p[/math] - [math]\varepsilon[/math] -мережа для [math]K [/ Math] .
Шарів кінцеве число. Отже, серед них є той, що містить нескінченну кількість елементів послідовності.
[math]\exists i:\ V_(y_i) \ni [/math] нескінченно багато елементів з [math]x_n[/math] . Позначимо [math]V_(y_i)\ [/math] як [math]\overline> [/ Math] .
Нехай [math]K_1 = \overline> \cap K[/math] - замкнене і цілком обмежено. Покриємо його кінцевою системою куль радіусу [math]\varepsilon_2[/math]. У тому числі виберемо той, у якому нескінченно багато елементів [math]x_n[/math] . І так далі.
У результаті вишиковується наступна нескінченна таблиця:
[math] \begin $\varepsilon_1$ & $x_$ & $x_$ & $x_$ & \ldots \hline $varepsilon_2$ & $x_$ & $x_$ & $x_$ & \ldots \hline $varepsilon_3$ & $x_$ & $x_$ & $x_$ & \ldots \\hline $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ \\ \end [/math]
У першому рядку безліч елементів [math]x_n[/math] з [math]\overline>[/math] . У другому рядку безліч елементів з [math]\overline> [/ Math] . І так далі.
Розглянемо послідовність точок [math]x_, x_, x_, \ldots[/math] (діагональ Кантора)
Очевидно, це підпослідовність вихідної послідовності. Якщо довести, що вона сходиться в собі, то оскільки [math]X[/math] — повне, у неї буде межа.
Оскільки [math]K[/math] - замкнене, то межа цієї послідовності належить їй.
Оскільки [math]x_[/math] є в [math]n[/math]-й рядку, то [math]\rho \leq 2\varepsilon_n[/math] .
Так як[math]\varepsilon_n \to 0[/math] , Послідовність сходиться в собі, то, по повноті [math] X [/math] , у неї є межа.