Теореми про межі
Теореми про межі про властивості функцій, що мають кінцеві межі
ТЕОРЕМА (про єдиність межі)
Нехай довільна функція визначена в деякій околиці точки, .
Тоді якщо функція має кінцеву межу, він єдиний, тобто.
Доказ методом від протилежного
зокрема і при ;
зокрема і за .
Звідси не маємо
- Неправильна числова нерівність.
Висновок: припущення про існування не єдиної межі - хибне. Теорему доведено.
Частковий випадок (для послідовності)
Якщо припустити наявність двох різних меж, можна вказати непересекающиеся околиці цих меж, які повинні потрапляти одночасно ВСІ члени послідовності, починаючи з деякого.
ТЕОРЕМА (про локальну обмеженість функції, що має при кінцеву межу)
тобто. якщо функція має кінцеву межу, то існує околиця точки , на якій безліч значень функції є обмежене числове безліч.
Доведення. Оскільки к.ч., то будь-якого , зокрема для , існує отже , тобто , тобто. де або .
Зауважимо, що зворотне твердження не так, тобто. якщо функція локально обмежена на , то необов'язково існує і дорівнює кінцевому значенню.
Контрприклад. Функція має безліч значень - обмежена множина в будь-якій околиці точки, але не існує.
Зауважимо, що функція, що має у точці кінцеву межу, а отже, локально обмежена в околиці цієї точки, може бути необмеженою на своїй галузі існування. Наприклад, для .
Функція нескінченно велика при є необмеженою в будь-якій околиці. Зворотне неправильно, тобто. необмежена функція не обов'язково нескінченно велика при . Наприклад, .
Частковий випадок (для послідовності):
всяка послідовність, що сходить, є обмеженою, тобто.
Контрприклад. - Обмежена послідовність, але не є схожою, оскільки її підпослідовності і сходяться до неспівпадаючих меж.
Отже, теорема про локальну обмеженість є "односторонньою" теоремою і висловлює НЕОБХІДНУ умову існування кінцевої межі функції (і послідовності).
Наступна серія тверджень описує зв'язок між співвідношеннями для функцій та його меж.
ТЕОРЕМА (про перехід до межі рівності)
Якщо і існує , то існує і .
ПРИКЛАД. Оскільки для і , то .
ТЕОРЕМА (про перехід до межі в нерівності)
Якщо або на існують – к.ч. і - к.ч., то .
Доказ можна провести шляхом протилежного. Рекомендуємо провести самостійно.
ТЕОРЕМА (про перенесення нерівності між межами на функції)
Якщо існують межі і виконується нерівність, то існує околиця, на якій.
зокрема, при: , тобто. . Аналогічно
зокрема, при , тобто. або .
Оскільки при , то перетині околиць маємо , тобто. вказали околиця , де характер нерівності між межами переноситься на функції.
Слідство. Якщо – кінцеве число і , можна вказати околиця , де .
ТЕОРЕМА (про межу проміжної функції)
Якщо на і існують і їх значення кінцеві і рівні, то існує межа проміжної функції і його значення збігається зі значенням меж функцій, що оцінюють ліворуч і праворуч.
ТЕОРЕМА (про арифметику функцій,мають кінцеву межу в одній і тій же точці)
Нехай функції і мають кінцеві межі, тобто. , , і – кінцеві числа.
Тоді має кінцеву межу кожна з функцій:
Доведення. 1. Операція додавання функцій визначається поточечно. Твердження правильне для довільного кінцевого безлічі функції. Тут розглядається сума двох функцій.
Маємо, тобто. для кожного (зокрема, для ) існує так, що .
Розглянемо та оцінимо:
Отже, , тобто. за визначенням межі – кінцеве число, причому межа СУМИ функцій дорівнює СУМІ меж доданків, якщо межа кожної складової функції – кінцеве число.
Зауважимо, що зворотне твердження не так, тобто. існування кінцевої межі суми функцій не визначає існування межі кожного доданку.
Контрприклад. Нехай, тоді. Але сума функцій може бути представлена доданками (неоднозначно), наприклад у вигляді і , і межі доданків при є кінцевими числами (не існують).
Маємо – кінцеве число, тому – локально обмежена, тобто. .
З визначення кінцевої межі маємо також .
При оцінювати другий доданок у поданні не потрібно. При розшифруємо
Отримуємо на околиці і за визначенням межі
Отже, межа ВИРОБНИЦТВА функцій дорівнює ВИРОБНИКУ меж функцій, якщо межа кожної функції у творі – кінцеве число.
Зворотне твердження не так.
Контрприклад. Нехай, тоді. Але добуток функцій може бути представлений співмножниками неоднозначно, наприклад, і тоді межа співмножника не є кінцевою.