Теорія механізмів та машин, Структурний аналіз механізму
При аналізі структурної схеми механізму визначають кількість рухомих ланок, вид кінематичних пар, число ступенів свободи механізму, число замкнутих контурів та його клас, кількість надлишкових контурних зв'язків.
Положення твердого тіла у просторі визначається шістьма незалежними координатами. Основна система відліку зазвичай пов'язана зі стійкою, тому загальна кількість координат, що характеризує положення рухомих ланок дорівнює 6n для просторового механізму і 3n для плоского механізму. Число зв'язків, що накладаються, а отже, і число рівнянь зв'язку залежать від рухливості париi і числа пар кожного виду (p1 – однорухомих, p2 – дворухомих, p3 – трирухомих, p4 – чотирирухомих, p5 – п'ятирухомих). Отже, загальна кількість рівнянь зв'язку становитиме
.
Число W ступенів свободи просторового механізму дорівнює різниці між загальним числом координат рухомих ланок і числом рівнянь, що зв'язують ці координати:
W = 6n - = 6n - (5p1 + 4p2 + 3p3 + 2p4 + p5). (2.1)
Ця формула з дещо іншими позначеннями була обґрунтована П.О. Сомовим (1887), Х.І. Гохман (1890), А.П. Малишевим (1923). У літературі її називають структурною формулою Сомова – Малишева.
Для плоских механізмів пари можуть бути однорухливими (нижчі) і дворуховими (вищі), і вони не пов'язані з видами пар, що розрізняються рухливістю, так як ланки здійснюють тільки плоский рух. Тоді число WП ступенів свободи плоского механізму визначається виразом
У механізмах можуть бути тотожні (дублюючі, пасивні) зв'язки, кількість яких позначають q і визначають так:
Надмірні контурні зв'язки можуть виникати тільки в замкненому кінематичному ланцюгу, причому не можна вказати, якийзв'язок є надмірною, а можна лише підрахувати число цих зв'язків у контурі.
Число k замкнутих контурів кінематичного ланцюга обчислюють за формулою
k = = pΣ - n. (2.4)
Ця формула була запропонована Х.І. Гохманом у 1890 р. і відома у літературі під його ім'ям. Застосування цих формул можна показати з прикладу аналізу механізму, зображеного на рис. 2.8 а.
Мал. 2.8. Схеми для аналізу плоского шестиланкового механізму
У механізм входять п'ять рухомих ланок n = 5, сім однорухливих обертових пар p1 = 7, стійка (ланка 6).
Число ступенів свободи плоского механізму знаходять за формулою (2.2):
число ступенів свободи просторового механізму – за формулою (2.1):
тобто. кінематичний ланцюг статично невизначений і містить кілька надлишкових контурних зв'язків;
кількість замкнутих контурів механізму – за формулою (2.4):
Приймаючи рухливість основної схеми механізму Wo = 1, підраховують кількість надлишкових зв'язків за формулою (2.3):
Щоб унеможливити ці надлишкові контурні зв'язки, замінюють однорухливі пари парами з більшою рухливістю. У цьому випадку в кожному контурі необхідно ввести три додаткові рухливості. Це, наприклад, можна зробити, якщо в контурі використовувати замість двох однорухових пар одну сферичну та одну циліндричну пару. Тоді для механізму pΣ = 7, але p1 = 3, p2 = 2, p3 = 2, і W = 6n-5p1 - 4p2 - 3p3 = 6 ∙ 5 - 5 ∙ 3 - 4 ∙ 2 - 3 ∙ 2 = 1 = Wo ; q = 0.
Число ступенів свободи механізму дорівнює числу незалежних варіацій узагальнених координат. При Wо = 1 узагальнена координата приписується початковій кінематичній парі (початковому дволанцюжку). Якщо одна з ланок початкової пари є стійкою, то другу ланку називають початковою ланкою. Так якузагальнені координати приписуються початковій дволанці або початковій ланці, то сукупність інших ланок механізму повинна мати нульову рухливість.
Кінематичний ланцюг, число ступенів свободи якого щодо елементів її зовнішніх кінематичних пар дорівнює нулю, називають структурною групою, якщо з неї не можна виділити простіші кінематичні ланцюги, що задовольняють цій умові.
Для плоского механізму умові 3n - 2р1 = 0 задовольняють дволанкові, чотириланкові, шестиланкові і т.д. варіанти структурних груп:
Основою структурної групи є замкнутий контур. Клас контуру визначається числом пар, які входять утворюють його ланки.
Початковій дволанці надають I клас (контур вироджується в крапку), ланці з двома парами – II клас (контур вироджується в пряму), жорсткій ланці з трьома парами – III клас (трикутник), контуру з чотирма парами – IV клас, контуру з п'ятьма парами - V клас (рис. 2.9).
Мал. 2.9. Класифікація структурних груп
Клас структурної групи визначається класом найвищого номера контуру, що входить до складу групи.
Порядок групи відповідає кількості елементів кінематичних пар (поводків), за допомогою яких група приєднується до початкових ланок та стійки або до ланок попередніх структурних груп (див. рис. 2.9).
Наприклад на рис. 2.10 зображено схеми структурних груп II класу 2-го порядку (дволанкові, зазвичай звані двоповодковими групами Ассура) різних видів, що відрізняються поєднанням обертальних (В) та поступальних (П) пар по відношенню до внутрішньої пари: ВВВ, ВВП, ВПВ, ПВП, ВПП .
Мал. 2.10. Схеми структурних груп ІІ класу 2-го порядку
На рис. 2.9 показані також структурні групиIII та IV класів. Приєднуючи зовнішні елементи повідців до основи (показано штриховими лініями), отримуємо статично визначну ферму (з нульовою рухливістю).
Виділення у складі механізму структурних груп зазвичай обумовлено побудовою алгоритмів розрахунку кінематичних та силових характеристик механізму. Це особливо важливо при графічних методах дослідження та розроблення програм розрахунку параметрів механізму на комп'ютері (модульний принцип розробки алгоритмів). Однак при сучасному рівні розвитку ЕОМ трудомісткість обчислень іноді не відіграє суттєвої ролі. Тому можна використовувати рівняння зв'язків у неявній формі та вирішувати систему нелінійних рівнянь методами, розробленими у обчислювальній математиці.
Зауважимо, що структурний аналіз може полегшити складання алгоритмів розрахунку кінематичних передавальних функцій, проте необхідно звернути увагу на те, що при одній і тій же структурній схемі механізму його будова залежить від вибору кінематичної пари. Схема шестиланкового шарнірного механізму, ланки якого утворюють два замкнуті контури (k = = 7 – 5 = = 2), наведено на рис. 2.8 а. Якщо за початкову пару прийняти пару А між ланкою 1 і стійкою 6 і приписати їй узагальнену координату φ1, то в механізмі можна виділити дві двоповодкові групи, що послідовно приєднуються: BCD (ланки 2 і 3) і MEF (ланки 4 і 5) (див. рис. 2.8, б). За структурою це буде механізм ІІ класу. Якщо за початкову прийняти пару F між рухомими ланками 1 і 5 (див. рис. 2.8, б) і приписати їй узагальнену координату φ51, то структурна група складатиметься з базисної ланки 3 з трьома шарнірами (контур III класу), до яких приєднано три повідці : ланки 2, 4 та стійка 6 із зовнішніми парами В, Е, А. За структурою це механізм III класу 3-гопорядку. Графічне дослідження кінематики такого механізму зазвичай засноване на застосуванні особливих точок Асура. Якщо за початкову пару прийняти пару Е між рухомими ланками 4 і 5 (див. рис. 2.8, г) і приписати їй узагальнену координату φ54, то структурна група буде контуром ABCD з чотирма парами (контур IV класу). Ця група приєднується до ланок 4 та 5 початкової пари шарнірами F та М, тобто. структурою це механізм IV класу 2-го порядку. Графічне дослідження кінематики такого механізму зазвичай ґрунтується на методі хибних положень.
Приклад цього механізму можна показати, що система неявних рівнянь зв'язку залежить від структурного аналізу механізму. Кутові координати ланок щодо основної системи відліку φ1, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6 або відносні кутові координати між двома ланками φ51, φ54 можна визначити з деяких рівнянь контурів ABCD і AFEMD або системи тригонометричних рівнянь, якщо ці рівняння спро див. рис. 2.8, д):
ВА - НД - CD - AD = 0 (контур ABCD);
FA - FE + me - md + ad = 0 (контур AFEMD).
Як незалежну змінну призначають одну з координат φ1; φ54 = = φ5 – φ4; φ51 = φ5 – φ1, вважаючи її узагальненою координатою механізму. Ці векторні рівняння записують у вигляді системи тригонометричних рівнянь для векторних проекцій на осі координат основної системи відліку:
Призначаючи як узагальнену координату φ1, з перших двох рівнянь знаходять φ2 і φ3 за інших заданих параметрах, та якщо з наступної пари рівнянь φ4 і φ5, тобто. Для механізму II класу система рівнянь поділяється на дві підсистеми, у кожній з яких містяться дві невідомі кутові координати як аргументи тригонометричних функцій. Для структурноїгрупи III класу 3-го порядку за заданими розмірами ланок та масивом φ51,> кінематичних елементів початкової пари F необхідно визначити значення елементів масивів D для трьох пар: У, Е і З, тобто. DB, DC та DE:
DB = >;
DE = >;
DC = >.
Тут у дужках позначені елементи масивів. Для структурної пари IV класу 2-го порядку за заданими розмірами ланок та масиву φ54, > кінематичних елементів початкової пари Е необхідно знайти значення елементів масивів для трьох пар: Е, F, М або Е, В і С. При такому формуванні параметрів для складання функцій положення використовують умову збігу положень пари в двох суміжних розімкнених ланцюгах, тобто. визначають точки перетину двох кіл з заданими радіусами і центрами у двох зовнішніх парах по відношенню до внутрішньої пари.