Угруповання доданків, угруповання множників
До сум трьох та більшої кількості доданків відноситься тотожне перетворення, що має назвуугруповання доданків. Аналогічний вид перетворень існує й у творів трьох, чотирьох тощо. множників, званийугрупуванням множників. У цій статті ми розберемо правила угруповання доданків та множників і розглянемо застосування цих правил на прикладах.
Навігація на сторінці.
Угруповання доданків, приклади
У числових та літерних виразах, що містять суми трьох і більшої кількості доданків, можна виконувати угруповання доданків. Що розуміють під цим терміном?
Під угрупованням доданків мається на увазі спільний розгляд кількох доданків у сумі. Іншими словами, угруповання доданків – це об'єднання доданків до групи.
Існуєправило угруповання доданків: спочатку у вихідній сумі виконується перестановка доданків так, щоб груповані доданки виявилися поруч, після чого вони полягають у дужки.
Перш ніж перейти до розгляду прикладів, пояснимо, на чому ґрунтується наведене правило угруповання доданків. Воно базується на переміщувальному та сполучному властивості складання.
Переходимо до прикладів. Розглянемо суму трьох доданків виду 1+2+3. Нехай ми хочемо виконати угруповання першого та другого доданків. У цьому випадку нам не потрібно виконувати перестановку доданків, тому що доданки, які ми збираємося згрупувати, то знаходяться поруч. Нам потрібно лише укласти їх у дужки, маємо (1+2)+3. На цьому угруповання доданків завершено.
Розберемо ще один приклад. Візьмемо числове вираз 1+8+2+9 , що є сумою чотирьох доданків, і згрупуємо перший доданок зостаннім, а друге – з третім. Для цього спочатку переставляємо доданки так, щоб ті доданки, які ми збираємося згрупувати, опинилися поряд: 1+9+8+2. Залишилося укласти складові, що групуються в дужки (1+9)+(8+2) .
За озвученим правилом виконується і угруповання доданків у виразах зі змінними. Наприклад, у сумі виду x+y 3 +3·y 2 +2·x 2 +y+1 можна згрупувати всі доданки зі змінною x і всі доданки зі змінною y , після цього перетворення ми отримаємо вираз (x+2·x 2 )+(y 3 +3·y 2 +y)+1 .
Слід зазначити, що найчастіше основні труднощі з угрупованням доданків полягають над самій угрупованні, а тому, щоб розглянути у вихідному вираженні суму та складові її доданки. Особливо це стосується громіздких виразів. Коли доданки знайдені, їхнє угруповання не викликає проблем. Наприклад, вираз являє собою суму трьох доданків та . Після того, як ми визначили ці доданки, ми можемо згрупувати, наприклад, перший доданок з третім, при цьому отримаємо вираз . До речі, у дробі під знаком кореня знаходиться сума трьох доданків, у якій також можна провести угруповання.
Угруповання доданків широко застосовується для раціонального обчислення значень виразів, при спрощенні виразів і при вирішенні багатьох інших математичних завдань. Наприклад, при обчисленні значення виразу 1/3+2/7+2/3+3/7 зручно згрупувати дроби з однаковим знаменником, що полегшує і прискорює обчислення: . До речі, на угрупованні доданків базується один із методів розкладання багаточлена на множники.
Угруповання множників, приклади
Угруповання множниківза своїм змістом аналогічне угрупованню доданків, тільки воно проводиться не в сумах, а у творах. Так під угрупуванням множників утворі розуміють об'єднання кількох множників у групу.
Угруповання множників проводиться за правилом, яке також аналогічне правилу угруповання доданків: множники, що групуються, переставляються у творі так, щоб вони опинилися поряд одне за одним, після чого вони полягають у дужки. Теоретичною базою цього правила є переміщувальна та поєднана властивість множення.
Для прикладу згрупуємо окремо числові та окремо буквені множники у творі 3·a·7·b . Для цього спочатку виконуємо перестановку множників, щоб множники, що групуються, виявилися поруч, маємо 3·7·a·b , після чого записуємо дужки. В результаті угруповання множників приходимо до виразу виду (3 · 7) · (a · b).