Урок - Квадрат суми кількох доданків
Короткий опис документа:
Стандартні формули скороченого множення розраховані працювати з біномами і щодо простими (за базової конструкції) многочленами. Однак іноді при вирішенні серйозніших завдань доводиться мати справу з складнішими операціями.
(а + b + с) 2 = (а + b + с) (а + b + с) =
= а 2 + аb + ас + аb + b 2 + bс + ас + bс + с 2 =
= а 2 + b 2 + з 2 + 2аb + 2ас + 2bс
Для практики вивчимо нову формулу на вправі. Обчислити значення квадрата:
Використовуючи вищезгадану рівність, отримуємо новий вираз і розкриваємо дужки:
(2а + х + 3с) 2 = (2а) 2 + х 2 + (3с) 2 + 2 (2ах) + 2 (2а 3 с) + 2 (х 3 с) =
= 4а 2 + х 2 + 9с 2 + 4ах + 12ас + 6сх
Як бачимо, застосування формули для зведення у квадрат суми трьох виразів досить простий процес, що вимагає лише уваги, особливо при перемноженні коефіцієнтів.
Оскільки сума в дужках формули має алгебраїчний зміст, то цю рівність успішно можна використовувати й у різниці висловів – власне, для будь-якого тричлена. Для нової вправи інверсуємо знаки у нашому першому прикладі:
Щоб вирішити цей вираз за допомогою формули для квадрата суми, скористаємося відділенням знаків коефіцієнтів у дужки, тобто запишемо тричлени у вигляді підсумовування алгебри:
(2а - х - 3с) 2 = (2а + (-х) + (- 3с)) 2
(2а +(– х) + (– 3с)) 2 = (2а +(– х) + (– 3с))(2а +(– х) + (– 3с)) =
= (2а) 2 + (-х) 2 + (-3с) 2 + 2(-2ах) + 2(-2а3с) + 2(3сх) =
= 4а 2 + х + 9с 2 - 4ах - 12ас + 6сх
Якщо уважно придивитися до відповіді, можна зробити такий висновок: різниця в початковому вираженні призвела до того, що два з трьохподвоєних творів пари виразів набули знак «мінус». Всі інші дані залишилися незмінними. Варто зауважити, що квадрат анулює мінус, тому перша частина суми у відповіді не буде залежати від знаків у початковому виразі і завжди залишається позитивною. Ускладнимо завдання і спробуємо обчислити квадрат суми чотирьох виразів. При цьому скористаємося стандартними ФСУ для полегшення розрахунків:
(а + х + у + с) 2 = ((а + х + у) + с) 2 =
= (а + х + у) 2 + 2 (а + х + у) с + з 2
= а 2 + х 2 + у 2 + 2ах + 2ау + 2ху + 2ас + 2хс + 2ус + з 2 =
= а 2 + х 2 + у 2 + з 2 + 2ах + 2ау + 2ас + 2ху + 2хс + 2ус
Кінцевий вираз є формулою визначення квадрата суми чотирьох виразів. Або в словесному вигляді: квадрат суми чотирьох натуральних виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів, складеної з подвоєними творами всіх виразів, взятих по парі.
Таким чином, зведення в квадрат будь-якого багаточлена є досить стандартизованим і призводить до подібних результатів, тому можна вивести загальне формулювання, що працює для будь-якого кінцевого числа виразів: квадрат суми кількох виразів дорівнює сумі квадратів даних виразів, складених з подвоєними творами всіх виразів, узятих по парі. Розглянемо таке завдання. Зведемо у квадрат вираз:
Використовуючи виведені формули або загальне формулювання (що працює для будь-якої суми алгебри), перетворимо і вирішимо, розкриваючи дужки і спрощуючи:
(3 + х - 5у + 3с) 2 = (3 + х + (- 5у) + 3с) 2 =
= (3 + х + (-5у) + 3с) (3 + х + (- 5у) + 3с) =
= (3) 2 + х 2 + (-5у) 2 + (3с) 2 + 2(3х) + 2(-15у) + 2(9с) + 2(-5ух) + 2(3сх) – 30ус
= 9 + х 2 + 25у 2 + 9с 2 + 6х - 30у + 18с - 10ух + 6сх -30ус
Розуміння загальних принципів виведення тих чи інших формул дуже допомагає при вирішенні нетривіальних вправ, що мають схоже завдання, але вищого рівня.