Визначення невизначеного інтегралу - Студопедія

Все безліч первісних функційf(x)називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

Вираз називаютьпідінтегральним виразом, аf(x)–підінтегральною функцією. Підінтегральне вираз є диференціал функціїf(x).

Дія знаходження невідомої функції за заданим її диференціалом називаєтьсяневизначенимінтегруванням, тому що результатом інтегрування є не одна функціяF(x), а безліч її первіснихF(x)+C.

На підставі похідних властивостей можна сформулювати і довестивластивості невизначеного інтеграла (властивості первісної).

  1. Похідна результату інтегрування дорівнює підінтегральної функції.
  2. Невизначений інтеграл диференціала функції дорівнює сумі самої функції та довільної константи.
  3. деk- довільна константа. Коефіцієнт можна виносити за знак невизначеного інтеграла.
  4. Невизначений інтеграл суми/різниці функцій дорівнює сумі/різниці невизначених інтегралів функцій.

Проміжні рівності першої та другої властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для доказу третьої та четвертої властивостей достатньо визначити похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні рівні підінтегральним функцій, що є доказом з першої якості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотним завданням диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

  • перше властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевіритиправильність виконаного інтегрування достатньо обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана результаті диференціювання функція виявиться рівної підінтегральної функції, це означатиме, що інтегрування проведено правильно;
  • друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалом функції знайти її первісну. У цьому властивості засноване безпосереднє обчислення невизначених інтегралів.

  • Так само з формули
  • Зупинимося тепер на іншій формі заміни змінної. Нехайf(x) - безперервна функція, задана на якомусь проміжку [a,b]. Припустимо, щоx=φ(t) є функція, задана на іншому проміжку [α,β], що має там похіднуφ'(t) і задовольняє нерівностямa≤φ(t) ≤b. Нехай, крім того, існує зворотна функціяt=ψ(x), задана на [a,b]. Розглянемо інтеграл
  • Згідно з вищесказаним для знаходження цього інтеграла потрібно переписати його у формі
  • і замінитиφ(t) черезx, що приведе нас до інтегралу
  • Цей останній інтеграл свідомо існує (т.к.f(x), будучи безперервною, має первісну). Нехай
  • Тоді, застосовуючи 1 правило підстановки до інтегралуI1, отримаємо:
  • Звідси випливає, що
  • Якщо ще помітити, щоF(t) є не що інше, якA[φ(t) )], тобто первісна дляf[φ(t)]φ'(t), то зможемо формулювати
  • Взаємне розташування двох прямих
  • Якщо прямі задані рівняннями і вони:
  • 1) паралельні (але не збігаються)
  • 2) збігаються
  • 3) перетинаються
  • 4) схрещуються
  • Якщо випадки 1 - 4 мають місце, коли ( - знак заперечення умови):
  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)
  • Відстань між двома паралельними прямими

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно