З історії завдань із однаковими цифрами - Педагогіка
1.2.2 З історії завдань із однаковими цифрами
Першу згадку про подібні завдання можна знайти у вітчизняній книзі «Цікаві та розважальні завдання, видані Іваном Буттером». Символічно, що загальна кількість завдань збірника є числом, що складається з однакових цифр: 111.
"Знайти всі можливі числа, які можна отримати з чотирьох четвірок (не більше і не менше) за допомогою різних арифметичних знаків".
Наприклад, число 17 можна подати у вигляді
і т. д. Аналогічним чином можна записати всі числа до 112 включно, використовуючи лише знаки додавання, віднімання, множення, поділу.
У задачі «Двадцять чотири» Г. Е. Дьюдені вказує: «В одній книзі було написано:
«Запишіть число 24 за допомогою трьох однакових цифр, відмінних від 8.»
Там же наводилася відповідь:
У «Книзі 2» завданням з однаковими цифрами наведено цілий розділ, названий «Новий рід завдань». У ній наведено п'ять головоломок, які з того часу кочують зі збірки до збірки. Знову цитуємо Є. І. Ігнатьєва:
«Завдання 47-те. Написати 2 трьома п'ятірками». Одна з двох відповідей: (5+5): 5.
«Завдання 48-те. Написати 5 трьома п'ятірками».
З десяти відповідей дві відповідають тематиці:
До відповідей Є. І. Ігнатьєва можна додати такі рішення:
«Завдання 49-те. Написати 31 п'ятьма трійками. Рішення,
Це завдання набагато складніше за попередні. Вона не нова, і зазвичай вважають, що вона має лише три рішення». У ряді запропонованих відповідей:
33-3 + 3: ЗіЗЗ-(3 + 3):3.
10. а) Постарайтеся зобразити число 31 за допомогою шести (або п'яти) трійок.
б) Зобразіть число 100 за допомогою чотирьох однакових цифр» Ось які відповіді наведено в ційкнизі: 10. а) 3 • 3 • 3 + 3 + 3: 3; 33 - 3 + 3 : 3 та 33 - (3 + 3): 3.
Зверніть увагу на те, що в задачі 10.а), на відміну від книги Є. І. Ігнатьєва, потрібно зобразити число 31 не тільки п'ятьма, а й шістьма трійками, а у відповіді на головоломку 10.6), на відміну від книги І. Ігнатьєва. Буттера, після числа 99 стоїть знак плюс.
15. Напишіть 5 трьома п'ятірками;
16. Як зобразити 31 п'ятьма трійками?
На «Книзі третьої» А. В.Сатаров навів ще одне завдання:
"Напишіть число 100 чотирма однаковими цифрами".
При цьому, як А. В. Сатаров, так і Н. Н. Аменіцький з І. П. Сахаровим
у відповідях використовували тільки дії додавання, віднімання, множення та
1.2.3 З історії головоломок з цифрами, що не повторюються.
Завдання з неповторними цифрами зустрічаємо у чудовому вітчизняному тритомнику Є. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості, або Арифметика для всіх: Досвід математичної хрестоматії: Книга для сім'ї та школи». У «Книзі 1» наведено:
«Завдання 32: Написати число 100 за допомогою дев'яти різних значущих цифр».
56 + 8 + 4 + 3 = 71 +29 = 100».
Тут Є. І. Ігнатьєв пояснює: «Як бачимо, у передостанньому рішенні допущено певний «фокус». Спочатку з шести різних цифр складено три числа, що дають у сумі 98 - число, знову-таки складене з двох нових цифр, і до нього додається число, зображене цифрою 2, що бракує. У сумі виходить необхідне число 100. Подібно ж складено і останнє рішення » .
Цікаво, що майже таке ж завдання наводить І. Я. Герд у «Збірнику ігор та корисних занять для дітей різного віку з передмовою для батьків та вихователів», розділ «Завдання»:
«17. Складіть із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9 такі числа, щоб через додавання отримати рівно 100».
При цьому у відповіді наводиться тільки одне рішення, що трохи відрізняється від зазначених Є. І. Ігнатьєвим:
15 + 36 + 47-98 + 2 = 100.
Неважко знайти й інші рішення з «фокусом», крім тих, що присутні в посібниках Є. І. Ігнатьєва та І.Я. Герда:
73 + 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2 = 100;
70 + 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2 = 100;
53 + 8 + 4 + 6 = 71 +29 = 100;
45 + 37 + 16 = 98 + 2 = 100;
58 + 3 + 4 + 6 = 71 + 29 = 100;
47 + 36 +15 = 98 + 2 = 100 і т. п.
Ще раніше головоломку про число 100 навів класик цікавої математики американець С. Лойд, у його книзі "Математична мозаїка".
Як видно, відповіді на головоломки, що зацікавили, з книг Є. І. Ігнатьєва і С. Ллойда або дуже складні, або не цілком коректні.
5+12+37+46; 6+15+32+47; 7+16+35+42.
Очевидно, що інші рішення легко отримати перестановкою цифр у доданків (тобто замість 35+42 можна написати 32+45 тощо).
1.2.4 З історії завдань про переливання рідин
Практично жоден класичний збірник, пов'язаний з іграми і розвагами, не обходиться без розділу «Розділи», причому помітне місце в ньому займають завдання про переливання рідин з посудини в посудину.
На жаль, більшість подібних старовинних головоломок складні і тому не підходять для початкової школи. Хоч як це дивно, але у вітчизняних навчальних посібниках порівняно простих завдань даного класу практично немає. Адже не підлягає сумніву, що вони допоможуть дітям у цікавій формі швидше освоїти дії додавання, віднімання та попрактикуватися у комбінаториці.
«Маючи 2 бідони на 4 і 5л, чи можна налити із водопровідного крана у відро 3 л. води? (Ємність відра не менше 3 л.) Відповідь: можна».
Найшвидшим шляхом завданнявирішується так: Заповнюється водою чотирилітровий бідон, потім вода переливається в п'ятилітровий, знову вода наливається догори в меншу ємність, і з меншою 1 л відливається у велику. У результаті в чотирилітровому бідоні буде 3 літри води.
Ще дві «водяні» головоломки наводяться в розділі «Завдання-смікалки» посібники для вчителів 1-11 класів А. А. Свічникова та П. І. Сорокіна «Числа, фігури, завдання у позакласній роботі»:
«111. Як набрати з водопроводу 6л води, користуючись дволітровою банкою та чайником, до якого входить 5л?
Рішення Напиваємо в банку 2 рази по 2 л і переливаємо в чайник, потім ще раз напиваємо в банку 2 л.
136. Як маючи банку місткістю 4 л і бідон -9 л, набрати з річки точно 7 л води?
Оптимальне вирішення другого завдання у посібнику не дається. Ось воно: Два рази заповнюємо банку водою і переливаємо по 4 л води з банки в бідон, знову наповнюємо банку і додаємо 1 л з неї в бідон, після цього всі 9 л води з чайника виливаємо в раковину, і в бідон переливаємо в банку, що залишилися. 3 л, знову заповнюємо чотирилітрову банку водою з річки та отримуємо необхідні (сумарні)
«В одному середньовічному творі висхідним до середини 13 століття, пропонується такого роду завдання: Пан послав свого слугу в найближче місто купити 8 мір вина. Коли слуга, виконавши доручення, збирався додому, йому зустрівся інший слуга, якого пан теж посла! за вином. "Скільки у тебе вина?" - Запитує другий слуга. "8 заходів", - відповідає той. "Мені теж потрібно купити вина". "Ти вже нічого не отримаєш, тому що в місті більше вина немає", - заявляє перший. Тоді другий слуга просить його поділитися з ним вином і показує йому дві посудини, що є при ньому, одна в 5, інша в 3 заходи. Як зробити поділ: за допомогою цих трьох судин?».
Наведемо хід найкоротшого рішення, що включає 7 операцій переливання, позначивши «тривимірну» посудину, як першу, «п'ятивимірну» назвемо другою, а «восьмимірну» — третьою.
Отже: 1. З третього до другого відливаємо 5 заходів.
2. З другого в перший - 3 заходи.
3. З першого до третього переливаємо 3 світи.
4. З другого до першого — 2 заходи.
5. З третього до другого — 5 заходів.
6. З другого до першого — 1 міру.
7. З першого до третього — 3 заходи.
Безумовно, і до 1877 завдання про судини зустрічалося на сторінках вітчизняних книг. Вказану головоломку зустрічаємо у творі «Ворожлива арифметика для забави та задоволення». Завдання №24 має такий вигляд:
«Посудину, заповнену вісьмома кружками вина, розлити на дві рівні частини по судинах, з яких в один входить 5 кухлів вина, а в інший 3».
Це завдання можна включати під час запровадження поняття «заходи».
Трохи пізніше завдання привели у книзі «Бібліотека вчена, економічна, повчальна, історична та розважальна на користь та задоволення будь-якого звання читачів: Частина I». У розділі «Математичні та фізичні розваги на стор. 261 читаємо:
«Некто, маючи сулію, наповнену 8 гальками гарного вина. " і т.д.
Це завдання є і в книзі І. Буттера «Цікаві та розважальні завдання, видані Іваном Буттером». Ускладнені варіанти головоломки знаходимо в задачах № 18-22.
Чи публікувалися за старих часів простіші завдання даної тематики? Відповідь на це питання проливають наступні рядки з роботи У. Болла та Г. Коксетера «Математичні есе та розваги»:
«. Згадаємо ще кілька завдань, які століттями входили майже кожне зібрання математичних розваг. Перший приклад дає гарне уявлення про цілекласі подібних завдань. Хтось вирушив до джерела за водою з двома глечиками ємністю 3 і 5 пінт. Як зможе він принести додому рівно 4 пінти води? Рішення тут не складає ніяких труднощів».
Вирішення завдання у книзі не наводиться. За допомогою найменшої кількості переливань мети можна досягти наступним чином: Заповнюється водою з джерела більший глечик, Зл з нього переливаються в менший і виливаються. 2л води, що залишилися в п'ятилітровій посудині, переміщуються в трилітрову. Більший глечик знову наповнюється водою з джерела, 1л з нього відливається в менший глечик. Тепер у п'ятилітровій посудині знаходиться рівно 4л води.
Зазначимо, що саме з вирішенням однієї зі складних завдань про переливання пов'язують розкриття математичних здібностей видатного французького математика С. Д. Пуассона. У задачі, запропонованій юному Пуассону, ємність судин на відміну від хрестоматійної задачі становила не 3, 5, 8 (мір), а 5, 8. 12 (пінт; пінта - міра рідини):
«Некто має дванадцять пінт вина і хоче подарувати з нього половину, але в нього немає посудини у шість пінт. У нього дві судини, одна в 8, інша в 5 пінт; питається: яким чином налити шість пінт у посудину у вісім пінт».
Можливо в школі навчається майбутній видатний математик і запропонує своє рішення.
Таким чином, видно, наскільки довгий і тернистий був шлях багатьох завдань, перш ніж вони дійшли до наших днів. І наскільки копітка і трудомістка була праця тих людей, тих вчених, які шукали нові раціональніші рішення цим завданням, які безсумнівно активізують діяльність дітей у процесі вирішення завдань.
Глава 2. Методичні аспекти використання історичного матеріалу під час уроків математики у початковій школе