Значення слова "Поліедр" у Великій Радянській Енциклопедії
Значення слова "Поліедр" у Великій Радянській Енциклопедії
є об'єднанням (сумою) кінцевого числа опуклих багатогранників довільного числа вимірювань, довільно розташованих уn-мірному просторі (у цьому сенсі, зокрема, термін «Поліедр » вживається втопології).Це поняття легко узагальнюється і на випадокn-мірного простору: візьмемо вn-мірному просторіR nт.з. напівпростір, тобто безліч усіх точок, розташованих по один бік будь-якої (n- 1)-мірної площини цього простору, включаючи точки самої площини (аналітично йдеться про безліч усіх точок просторуR n ,координати яких задовольняють нерівності першого ступеня видуa1x1+a2x2+. Перетин кінцевого числа напівпросторів (якщо воно виявляється обмеженим) і є найбільш загальним опуклим багатогранником довільного числа вимірювань £n,що лежить в даномуR n .Поліедр загалом значенні слова є сума кінцевого числа таких багатогранників. Приn=2 виходять багатокутники (не неодмінно опуклі) як двовимірніПоліедр ОдномірніПоліедр суть ламані лінії (причому допускається їх розпад на шматки , а також розгалуження: в одній вершині можуть стулятися скільки завгодно відрізків). Нуль-мірнийПоліедр завжди можна розбити на багатогранники найпростішого виду, а саме на симплекси, симплекси розмірностей 0, 1, 2, 3 суть відповідно: одна точка, відрізок, трикутник, тетраедр (власне кажучи, неправильний). При цьому розбиття можна зробити так, що два симплекси цього розбиття або не мають спільних точок, або сукупність їх загальних точок утворює загальну грань цих симплексів. Такі розбиттяПоліедр на симплекси називаються тріангуляціями; вони становлять основний апарат дослідження у т.з. комбінаторної топології. Поняття «Поліедр » допускає різні узагальнення: при топологічному відображенніПоліедр переходить у т.з. кривоюПоліедр (наприклад, багатогранна поверхня переходить у довільну криву поверхню): розглядаються і т.з. нескінченніПоліедр, що складаються з нескінченної множини опуклих багатогранників (симплексів) і т.д.
Літ.:АлександровПоліедр С., Лекції з аналітичної геометрії. М., 1968; його ж, Комбінаторна топологія, М. - Л., 1947; Понтрягін Л. С., Основи комбінаторної топології, М. - Л., 1947; АлександровПоліедр С., Пасинков Би. А., Введення в теорію розмірності, М., 1973.
Поліедр С. Александров.