1. Метод математичної індукції
У математиці за підтвердження тверджень часто використовується метод математичної індукції. Індукція буває повною та неповною.
Неповна математична індукція можлива лише у тому випадку, якщо здійснимо повний перебір. Інакше застосовують принцип повної математичної індукції.
Суть цього принципу полягає в наступному: якщо деяка пропозиція A(n), де n - натуральне число, істинно для n = 1 (або при іншому значенні n, при якому має сенс це твердження) і з його справедливості для деякого натурального значення n = k слід справедливість затвердження для наступного натурального значення n = k + 1, то твердження справедливе всім натуральних значень n.
Не знаю, чи писати приклад?
2. Поняття множини, підмножини, порожньої множини. Діаграми Венна. Число підмножин кінцевої множини.
Під безліччю розуміється деяка, цілком певна сукупність об'єктів чи елементів.Багато- будь-яке зібрання певних і різних між собою об'єктів, мислиме як єдине ціле.
Безліч А єпідмножинамножини, якщо кожен елемент А є елемент т.е. якщо (x належить А), то (х належить В). Зокрема, кожна множина є підмножина самого себе. Таким чином, A не належить, якщо існує елемент А, що не належить В.
Порожня множина, що позначається перекреслений 0 або <>, є безліч, яка не містить елементів. Універсальна безліч U є безліч, що володіє такою властивістю, що всі множини, що розглядаються, є його підмножинами.
Діаграми Венна — інструмент, що дозволяє зображувати множини та ілюструвати операції над ними. Безліч у діаграмах Венна зображуються внутрішніми частинамикіл, їх перетинами, об'єднаннями та
і т.д. Прямокутник зображує універсальну множину. На рис. 2.1 наведена діаграма Венна для множини А яка зображена внутрішньою частиною кола. Зовнішня частина кола, що усередині прямокутника, зображує А1.
На рис. 2.2 наведена діаграма Венна для двох множин, скажімо, A і В кожна множина зображена навколо, і кола перетинаються.
Як показує діаграма, внутрішня частина прямокутника поділена на чотири частини. Багато А і В відповідає зафарбована частина діаграми на рис. 2.3. Зафарбована область на мал. 2.4 представляє А або Ст.
Зафарбовані області на мал. 2.5 зображують множини АіВ, (АіліВіліС),
(АіВіС), (АіліВ) -С і (АіС)абоВ. (Тут символи були замінені на буквене позначення) Безліч А-В представлено зафарбованою областю на рис. 2.6. Діаграма Венна для трьох множин, наприклад А, В і С показана на рис. 2.7. Ця діаграма складається із восьми частин.
Використовуючи діаграми Венна, можна показати рівність двох множин.
Кількість підмножин кінцевої множини
3. Операції об'єднання, перетину множин, визначення та властивості комутативності та асоціативності. Взаємна дистрибутивність операцій перетину та об'єднання.
Об'єднанням множин А і В називається безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одному з множин А або В. Об'єднання множин А і позначається Аі В. Сформульоване вище визначення можна записати так: А і В = .
Якщо для будь-яких елементів aімножини M справедлива рівність ab=ba, то операцію називаютькоммутативною.
Властивість комутативності: A&BB=B&A
Якщо будь-яких елементів a,b,cмножстваMсправедливо рівністьa(bc)=(ab)c, то операцію називають асоціативною.
Властивість асоціативності: A& (B&C) = (A&B) &C
A U (B U C) = (A U B) U C
Взаємна дистрибутивність операцій перетину та об'єднання.