1. Заперечення.
Запереченням висловлюванняхназивається нове висловлювання, яке є істинним, якщо вислівххибним, і хибним, якщо вислівхістинним.
Заперечення висловлюванняхпозначається
Таблиці такого виду прийнято називати ТАБЛИЦЯМИ ІСТИННОСТІ.
Нехайхвисловлювання. Так як
Наприклад, для висловлювання «Річка Волхов витікає з озера Ільмень» запереченням буде вислів «Невірно, що річка Волхов витікає з озера Ільмень» або «Річка Волхов не витікає з озера Ільмень», а подвійним запереченням буде висловлювання «Невірно, що річка із озера Ільмень».
2. КОН'ЮНКЦІЯ (логічне множення).
Кон'юнкцією двох висловлюваньx,yназивається нове висловлювання, яке вважається істинним, якщо обидва висловлюванняx,yістинні, і хибним, якщо хоча б одне з них хибне (тобто в інших випадках).
Кон'юнкція висловлюваньx,yпозначається символомx&yабо
Наприклад, для висловлювань "6 ділиться на 2", "6 ділиться на 3" їх кон'юнкцією буде висловлювання "6 ділиться на 2 і 6 ділиться на 3", яке, очевидно, істинно.
З визначенняоперації кон'юнкції видно, що спілка «і» в алгебрі логіки вживається у тому сенсі, як у повсякденної промови. Але в звичайній мові не прийнято поєднувати союзом «і» два висловлювання, далекі один від одного за змістом, а в алгебрі логіки розглядається кон'юнкція двох будь-яких висловлювань. (Наприклад: «На городі бузина та в Києві дядька»).
З визначення операцій кон'юнкції та заперечення ясно, що висловлювання завжди помилкове.
3. ДИЗ'ЮНКЦІЯ (логічне складання).
Диз'юнкцією двох висловлюваньх, уназивається нове висловлювання, яке вважається істинним, якщо хоча б одне з висловлюваньх, уістинним, і хибним, якщо вони обидва помилкові.
Диз'юнкція висловлюваньх, упозначається символомху, читається «хабоу». Висловлюваннях, уназиваються членами диз'юнкції. Усі можливі логічні значення диз'юнкції двох висловлюваньхіуописуються наступною таблицею істинності:
Наприклад, вислів «У трикутнику DFE кут D або кут E гострий істинно, оскільки обов'язково істинно одне з висловлювань: «У трикутнику DFE кут D гострий», «У трикутнику DFE кут E гострий». У повсякденній промові союз «або» вживається у різному сенсі: що виключає і не виключає. У алгебрі логіки союз «чи» завжди вживається у сенсі.
З визначення операцій диз'юнкції та заперечення ясно, що висловлювання завжди істинно.
Імплікацією двох висловлюваньх, уназивається нове висловлювання, яке вважається хибним, якщохістинно, ау– хибно, і істинним у всіх інших випадках.
Імплікація висловлювань x,y позначається символом
Логічні значення операції імплікації описуються такою таблицею істинності:
Наприклад, висловлювання “якщо число 12 ділиться на 6, воно ділиться на 3”, очевидно, істинно, оскільки тут істинна посилка “ Число 12 ділиться на 6” і істинно висновок “Число 12 ділиться на 3”.
Вживання слів "якщо ..., то ..." в алгебрі логіки відрізняється від вживання їх у повсякденному мовленні, де ми, як правило, вважаємо, що, якщо висловлювання х хибно, то висловлювання "Якщо х, то y" взагалі не має сенсу. Крім того, будуючи пропозицію виду "якщо х, то y" у повсякденному мовленні, ми завжди маємо на увазі, що пропозиція y випливає з пропозиції х. Вживання слів “якщо…, то…” в математичній логіці цього не вимагає, оскільки в ній зміст змісту висловлювань не розглядається.
Імплікація відіграє важливу роль у математичних доказах, оскільки багато теорем формулюються в умовній формі “Якщо х, то y”. Якщо при цьому відомо, що х істинно, і доведено істинність імплікації
Еквівалентністю (або еквівалентністю) двох висловлювань x,y називається нове висловлювання, яке вважається істинним, коли обидва висловлювання x,y одночасно істинні, або одночасно помилкові. І помилковим у всіх інших випадках.
Еквівалент висловлювань x,y позначається символом
), читається "для того, щоб x, необхідно і достатньо, щоб y", або "х тоді і тільки тоді, коли у". Висловлювання x, y називаються ЧЛЕНАМИ ЕКВІВАЛЕНЦІЇ. Логічні значення операції еквіваленції описуються такою таблицею істинності:
Наприклад, еквівалент “Трикутник SPQ з вершиною S таосновою PQ рівнобедрений тоді і тільки тоді, коли
Еквівалентність відіграє велику роль у математичних доказах. Відомо, що значна кількість теорем формулюється у формі необхідних і достатніх умов, тобто. у формі еквівалентності. У цьому випадку, знаючи про істинність або хибність одного з двох членів еквівалентності і довівши істинність самої еквівалентності, ми робимо висновок про істинність або хибність другого члена еквівалентності.
За допомогою логічних операцій над висловлюваннями із заданої сукупності висловлювань можна будувати різні складні висловлювання. У цьому порядок виконання операцій вказується дужками. Наприклад, із трьох висловлювань x,y,z можна побудувати висловлювання
(xy)
Перше є диз'юнкція кон'юнкції x,y і заперечення висловлювання z, а друге висловлювання є імплікація, посилкою якої є висловлювання x, а висновком – заперечення диз'юнкції висловлювання y і кон'юнкції висловлювань x,z.
Будь-яке складне висловлювання, яке може бути отримане з елементарних висловлювань за допомогою застосування логічних операцій заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації та еквіваленції, називається формулою Алгебри Логіки.
Формули алгебри логіки позначатимемо великими літерами латинського алфавіту A,B,C,…,X,Y,Z,…
Для спрощення запису формул прийнято низку угод. Дужки можна опускати, дотримуючись наступного порядку дій: кон'юнкція виконується раніше, ніж решта операцій, диз'юнкція виконується раніше, ніжімплікація та еквівалентність. Якщо над формулою стоїть знак заперечення, то дужки теж опускаються.
У зв'язку з цим наведені вище формули (xy)
Логічне значення формули алгебри логіки повністю визначається логічними значеннями елементарних висловлювань, що входять до неї. Наприклад, логічним значенням формули у випадку, якщо x = 1, y = 1, z = 0 буде істина, тобто.
Як і у випадку з логічними операціями всі можливі логічні значення формули, залежно від значень елементарних висловів, що входять до неї, можуть бути описані повністю за допомогою таблиці істинності.
Наприклад, для формули
