10. Операторні зображення деяких функцій часу

Знайдемо операторні зображення деяких функцій часу, що зустрічаються в електротехніці.

Зображення постійної функціїf(t)=А:

.

2) Зображення експонентних функцій:

;

3) Зображення гармонійних функцій:

,

,

.

Зображення 1-ої та 2-ої похідної від функції часу:

.

Зображення певного інтегралу від функції:

.

Для зручності користування зведемо отримані результати до загальної таблиці, яка називається таблицею відповідності.

11. Закони електротехніки в операторній формі

Миттєві значення струмуi(t) та напругиu(t) на ідеальних елементах електричних схем пов'язані між собою диференціальною формою рівнянь:uR(t)= iR –для резистора;

 для котушки індуктивності;для конденсатора.

Застосуємо до диференціальних рівнянь перетворення Лапласа та отримаємо відповідне їм операторні зображення: для резистора;  для котушки індуктивності;

для конденсатора.

Таким чином, ідеальним елементамR,L,Cелектричної схеми будуть відповідати нові схемні уявлення цих елементів в операторній схемі (див. табл.).

ТутR,pL, 1/pC- операторні опори відповідно резистораR, котушкиLта конденсатораC. Операторний опірZ(p) будь-якої ділянки схеми можна отримати з його комплексного опоруZ(j), замінивши у виразі множникjна операторp.

Li(0), uC(0)/p– внутрішні джерела ЕРС, обумовлені запасами енергії в магнітному та електричному полях моменткомутації приt=0. Напрямки дії внутрішніх джерел ЕРС приймаються за напрямом струмуi(0) для джерелаL i(0) і назустріч напрузіuC( 0) для джерелаuC(0)/p.

u

З урахуванням отриманих співвідношень будь-яку електричну схему для оригіналів функційi(t),u(t) можна замінити відповідною їй операторною схемою для зображень функційI(p),U(p). Наприклад, електричної схеми рис. 134 відповідає операторна схема, подана на рис. 135.

Для електричної схеми рис. 134 справедливо диференціальне рівняння, складене за 2-м законом Кірхгофа:

.

Для операторної схеми рис. 135 справедливе аналогічне рівняння, але в операторній формі:

, звідки слідує:

,

де

- Оперативний опір всієї схеми,- сума всіх джерел ЕРС контуру, в тому числі і внутрішніх.

Д

ля складних операторних схем справедливі 1-й та 2-й закони Кірхгофа в операторній формі:

Для розрахунку таких схем можна застосовувати будь-які методи розрахунку лінійних ланцюгів: метод законів Кірхгофа, метод контурних струмів, метод вузлових потенціалів та інші. Порядок складання операторних рівнянь для складних схем аналогічний методу, порядку, який застосовується за цим методом для електричних схем.

---