§ 119. Магнітне поле соленоїда та тороїда
Розрахуємо, застосовуючи теорему про циркуляцію, індукцію магнітного поля всерединісоленоїда.Розглянемо соленоїд завдовжкиl,
що маєNвитків, яким тече струм (рис. 175). Довжину соленоїда вважаємо в багато разів більше, ніж діаметр його витків, тобто розглянутий соленоїд нескінченно довгий. Експериментальне вивчення магнітного поля соленоїда (див. рис. 162,б) показує, що всередині соленоїда поле є однорідним, поза соленоїдом — неоднорідним і дуже слабким.
На рис. 175 представлені лінії магнітної індукції всередині та поза соленоїдом. Чим соленоїд довше, тим менша магнітна індукція поза ним. Тому приблизно можна вважати, що поле нескінченно довгого соленоїда зосереджено цілком усередині нього, а поле поза соленоїдом можна знехтувати.
Для знаходження магнітної індукціїВвиберемо замкнутий прямокутний контурABCDA,якпоказано на рис.175. Циркуляція вектора по замкнутому контуруABCDA,що охоплює всіNвитків, згідно (118.1), дорівнює
Інтеграл поABCDAможна подати у вигляді чотирьох інтегралів: поАВ, ВС,CDіDA.На ділянкахАВі CD контур перпендикулярний лініям магнітної індукції таВ1=0. На ділянці поза соленоїдомВ=0. На ділянціDAциркуляція вектораВдорівнюєВl(контур збігається з лінією магнітної індукції); отже,
Отримали, що поле всередині соленоїдаоднорідно(крайовими ефектами в областях, прилеглих до торців соленоїда, при розрахунках нехтують). Однак відзначимо, що виведення цієї формули не зовсім коректний (лінії магнітної індукції замкнуті, і інтеграл зовнішньої ділянки магнітного поля строго нулю не дорівнює). Коректно розрахувати поле всередині соленоїда можна застосовуючи закон Біо- Савара - Лапласа; в результаті виходить та сама формула (119.2).
Важливе значення для практики має також магнітне полетороїда-кільцевої котушки, витки якої намотані на сердечник, що має форму тора (рис. 176). Магнітне поле, як свідчить досвід, зосереджено всередині тороїда, поза його поле відсутня.
Лінії магнітної індукції в даному випадку, як випливає з міркувань симетрії, є кола, центри яких розташовані по осі тороїда. Як контур виберемо одне таке коло радіусаr.Тоді, за теоремою про циркуляцію (118.1),
звідки слідує, що магнітна індукція всередині тороїда (у вакуумі)
деN -число витків тороїда.
Якщо контур проходить поза тороїдом, то струмів він не охоплює іВ•2r=0.Це означає, що поле поза тороїдом відсутнє (що показує і досвід).
§ 120. Потік вектора магнітної індукції. Теорема Гауса для поля в
Потоком вектора магнітної індукції (магнітним потоком)через майданчик dSназиваєтьсяскалярнафізична величина, що дорівнює
деBn=Вcos — проекція вектора на напрямок нормалі до майданчика dS ( — кут між векторамиnіВ), dS=dSn— вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок збігається з напрямком нормаліnдо майданчика. Потік вектора може бути як позитивним, так і негативним залежно від знака cos (визначається вибором позитивного напрямку нормаліn). Зазвичай потік вектора пов'язують з певним контуром, яким тече струм. У такому разі позитивний напрямок нормалі до контуру нами вже визначено (див. §109): він зв'язується зі струмом правилом правого гвинта. Таким чином, магнітний потік, створюваний контуромчерез поверхню, обмежену ним самим, завжди позитивний.
Потік вектора магнітної індукціїФBчерез довільну поверхню S дорівнює
Для однорідного поля та плоскої поверхні, розташованої перпендикулярно векторуВ,Bn=B=const і
З цієї формули визначається одиниця магнітного потокувебер(Вб): 1 Вб - магнітний потік, що проходить через плоску поверхню площею 1 м 2 розташовану перпендикулярно однорідному магнітному полю, індукція якого дорівнює 1 Тл (1 Вб = 1 Тл •м 2).
Теорема Гауса для поля В:потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:
Ця теорема відбиває факт відсутності магнітних зарядів, унаслідок чого лінії магнітної індукції немає ні початку, ні кінця і є замкнутими.
Отже, для потоків векторівВіЕкрізь замкнуту поверхню у вихровому та потенційному полях виходять різні вирази (див. (120.3), (81.2)).
Як приклад розрахуємо потік вектора через соленоїд. Магнітна індукція однорідного поля всередині соленоїда із сердечником з магнітною проникністю (г, згідно (119.2), дорівнює
Магнітний потік через один виток соленоїда площею S дорівнює
а повний магнітний потік, зчеплений з усіма витками соленоїда і званийпотокозчепленням,