14. Регресійний аналіз планування екстремального експерименту.

Планування експериментів можна як кібернетичний підхід до організації та проведення експериментальних досліджень складних економічних об'єктів і процесів, які у вигляді імітаційних моделей. Основна ідея цього підходу полягає у можливості оптимального управління експериментом за умов невизначеності. При розв'язанні задач такого роду доводиться враховувати велику кількість факторів, що ускладнює повне теоретичне розв'язання задачі. Тому йдуть шляхом встановлення закономірностей за допомогою проведення серії експериментів. Методи емпіричного пошуку оптимального вирішення завдання, засновані на теорії екстремального експерименту, допомагають експериментатору вибрати оптимальну стратегію експерименту. Основними показниками оптимальності при цьому є зменшення числа експериментів при забезпеченні тієї ж точності результатів досліджень або скорочення числа експериментів при збільшенні точності результату. У випадку об'єкт виглядає так:

На вході діють управляючі змінні

, що контролюють деякі обуренняНа виході – характеристики об'єкта1,2….. У результаті необхідно отримати уявлення , де- параметр, який має отримати екстремум. Наше уявлення буде виглядати так:

, де

- це абсолютні величини, яких ми повинні прагне. Користуючись результатами експерименту, можна отримати вибіркові коефіцієнти регресії…. є лише оцінками, наближеними значеннями для теоретичних коефіцієнтів регресії. В результаті матимемо:

Допустимо, маємо N-число експертів (і відповідно число результатів спостережень над величиною У). Припустимо, що результати спостереження слід подати поліномом ступеня d. Тоді кількість коефіцієнтів регресії будедорівнювати:

, де до = 1,2 ..... до. Необхідно, щоб.

Основа екстремального експерименту метод найменших квадратів.

Розглянемо приклад отримання та аналіз рівняння регресії. Випадок неортогонального планування. Неортогональне планування записується так:

. Нехай є такі вихідні дані: відомо, що поліном має такий вигляд. Потрібно шляхом проведення експерименту перевірити, чи можна його використати. Маємо 9 дослідів.

= 119 = 1,22; f = 9

Використовуємо формулу (у матричному вигляді) для знаходження коефіцієнтів регресії: (X T X) -1 X T Y

Оскільки нам відома помилка досвіду, можна визначити ставлення:

= 3.37 (для 10% рівня значимості), т.к. 12.1 > 3.37, то гіпотезу про випадкове відхилення відкидаємо.

При ортогональній системі точок розрахунки спрощуються, т.к. зворотна матриця буде діагональною, мінори розраховувати не треба.

15. Повний факторний експеримент.

Однією з головних ідей планування експерименту є вибір експериментальних точок. Факторний експеримент забезпечує найбільш зручний опис процесу вибору точок факторного виробництва, при цьому забезпечується властивість ортогональності. При побудові повного факторного експерименту керуючі змінні приймають лише 2 значення: +1 і -1.

Повний факторний експеримент (2 до )

Репліки (неповний факторний експеримент):

Регулярна репліка 2 к-р

Нерегулярна репліка L К-Р

Не має значення, яким приладом досліджуємо процес (регулярна репліка, повний експеримент), нас цікавить відгук. Можливі комбінації проведення досвіду записуються у так звану матрицю планування експерименту.

У факторній площині змінюється система координат.

Y -крива відгуку.

КМП – код матриці планування. У зв'язку з тим, що у нас можуть бути дуже громіздкі матриці планування експерименту, в математиці прийнято умовний запис цих матриць за допомогою букв латинського алфавіту. Так, якщо ми маємо справу з експериментом, де 2 фактори, кожен з яких має 2 рівні: верхній (+1) і нижній (-1), то літерою «а» позначається рядок, де перший фактор набуває значення верхнього рівня (+1) ), а другий фактор у цьому ж рядку нижній рівень (-1). Якщо перший нижній, а другий верхній – маркер "в". Якщо обидва верхні - рядок маркується "ав", а якщо обидва нижні - "1".

Замість матриці можна записати.

Ми провели експерименти і за допомогою регресійного аналізу можемо отримати рівняння:

, Де - Ці значення розрахункові, на відміну від планованих параметрів - вільні члени.

Отже ми отримуємо лінійний поліном:

, увібрав і вільний член і ступеня.

f = N(= 4) – (K(кількість параметрів = 3) + 1) = 0 = gt; Sn=0. Ми не можемо перевірити адекватність моделі. При числі ступенів свободи = 0 статистичний аналіз точності рівняння провести неможливо. Якщо ми виключимо якийсь член полінома (

= 0), тобто. обмежимося лінійною моделлю (наприклад), отримаємо ступінь свободи 1 (f = 1) і зможемо визначити адекватність уявлення нашого процесу лінійної моделі. Факторний експеримент дає можливість отримувати рівняння регресії тільки в лінійному вигляді або у вигляді неповного рівняння 2-го ступеня, де відсутні квадратичні члени (ми не можемо знайти максимум за допомогою другої та першої похідної, тому що 2-ї похідної немає, отже використовуємо спосіб найшвидшого спуску).

Нехай ми маємо факторний експеримент.

Матриця планування експерименту будемати такий вигляд:

- незалежні змінні, - розрахункові змінні.

, тобто. у загальному вигляді:

, де БЛА – літера латинського алфавіту

Експерименти, побудовані за схемами, наведеними у додаткових таблицях, називаються повним факторним експериментам, оскільки у разі за бажання можна визначити всі лінійні коефіцієнти, і навіть можливі ефекти взаємодії.

- коефіцієнти взаємодії.

Побудова експерименту за схемою, коли з ефектів взаємодії не визначаються, називається на відміну повного дробовим факторним експериментом (не повним факторним експериментом) чи реплікою.

Схеми повного факторного експерименту мають такі властивості:

1. Нормування - сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів.

2. Симетричність щодо центру експерименту. Алгебраїчна сума елементів вектора – стовпця кожного фактора = 0.

3. Ортогональність – сума почленних творів будь-яких 2-х векторних стовпців матриці = 0.

З якості ортогональності випливає, що матриця коефіцієнтів діагональна.

З якості нормування слід, що це діагональні елементи цієї матриці дорівнюють числу дослідів N.

Усі елементи зворотної матриці = 1/N, отже будь-яке.

---