1.5. Знакорядні ряди. Теорема Лейбніца

Ряд називається знакочередующимся, якщо будь-які сусідні його члени мають різні знаки, тобто. ряди виду u1 – u2 + u3 – u4 +… + un + …, де u1, u2, …, un, … позитивні.

Теорема Лейбніца.Якщо члени знакочередующегося ряду, взяті за абсолютною величиною, монотонно спадають і модуль загального члена ряду прагне нуля при

, тобто.

, то ряд сходиться.

Дослідити збіжність ряду, що знак чергується:

Члени ряду, взяті за абсолютною величиною, монотонно зменшуються:

Ряд сходиться.

1.6. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність ряду

Рядu1+u2+…+un+ ...називається знакозмінним, якщо серед його членів є як позитивні, так і негативні.

Знакочередующиеся ряди є окремим випадком знакозмінних рядів.

Якщо ж знакозмінний ряд (1) збігається, а ряд (2), складений з абсолютних величин його членів, розходиться, то даний знакозмінний ряд (1) називається рядом, що умовно або неабсолютно сходяться.

Дослідити на збіжність та абсолютну збіжність ряд:

Знакочередующийся ряд сходиться з теоремі Лейбніца, т.к.

. Члени ряду монотонно спадають і

. Тепер досліджуємо цей ряд на абсолютну збіжність. Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду:

. Досліджуємо збіжність цієї низки з допомогою ознаки Даламбера:. Ряд сходиться. Значить, заданий ряд, що чергується, сходиться абсолютно.

Дослідити на збіжність та абсолютну збіжність ряд:

По теоремі Лейбниця

. Ряд сходиться. Ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду, має вигляд. За ознакою Даламбера отримаємо. Ряд сходиться, значить, заданий знакозміннийряд сходиться абсолютно.

2. Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду

Розглянемо послідовність функцій, заданих на певному проміжку[a,b]:

Прийнявши ці функції як члени ряду, утворюємо ряд:

який називаєтьсяфункціональним рядом.

Наприклад:sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

У окремому випадку функціональним рядом є ряд:

, (2)

який називаєтьсяступеневим рядом, де постійні числа, званікоефіцієнтами членів статечного ряду.

Ступіньовий ряд може бути записаний і в такій формі:

, (3)

де

деяке постійне число.

При певному фіксованому чи числовому значенніxотримаємо числовий ряд, який може бути схожим або розбіжним.

Визначення:Сукупність всіх значеньх(або всіх точокхчислової прямої), при яких статечний ряд сходиться, називаєтьсяобластю збіжності статечного ряду.

Знайти область збіжності статечного ряду:

Застосуємо ознаку Даламбера.