17. Визначення певного інтегралу як межа інтегральної
суми, теорема Коші. Геометричний та фізичний зміст певного інтегралу: площа криволінійної трапеції, робота змінної сили.
18. Формула Ньютона-Лейбніца, властивості певного інтегралу.
Нехай функція f(x) безперервна на замкнутому інтервалі [a, b]. Якщо F(x) - первісна функція f(x) на [a, b], то
Площа криволінійної трапеції
Площа фігури, обмеженою віссю 0x, двома вертикальними прямими x = a, x = b та графіком функції f(x) (рисунок 1), визначається за формулою
Нехай F(x) і G(x) - первісні функції f(x) і g(x), відповідно. Якщо f (x) ≥ g (x) на замкнутому інтервалі [a, b], то площа області, обмеженої двома кривими y = f (x), y = g (x) та вертикальними лініями x = a, x = b ( малюнок 2) визначається формулою.
19. Диференціальні рівняння, основні поняття.
Диференціальні рівняння першого ладу.
Диференціальним рівнянням (ДК) називається рівняння, яке містить похідні невідомої функції (або кількох невідомих функцій). Замість похідних можуть бути диференціали.
У тих випадках, коли невідомі функції залежать тільки від одного аргументу, воно називається звичайним, ну а якщо від декількох, то рівняння буде називатися диференціальним рівнянням з приватними похідними (ДУЧП). Тут поки що розглядаються лише прості.
Загальний вид дифуру з однією невідомою функцією такий:
А його порядком називається порядок найвищої з похідних, що входять до цього рівняння. Тобто у вище зазначеному вигляді ми маємо ДУ n-го порядку.
приклади. Рівняння у = y2/x є ДУ першого порядку; а вже у + у = 0 - другого порядку, ну а y'2 = х3 - так само першого.
Функція у = φ(х) називається рішеннямДУ, якщо останнє перетворюється на тотожність після підстановки у = φ(х).
Основне завдання теорії дифурів є перебування всіх рішень даного ДК, які завжди багато, оскільки вони можуть відрізнятися мінімум якусь константу. У найпростіших випадках це завдання зводиться до знаходження інтеграла. Тому його рішення ще можуть називати його інтегралом, а процес знаходження всіх цих рішень інтегруванням диференціального рівняння.
Взагалі інтегралом цього ДУ називають будь-яке рівняння, що не містить похідних, з якого це диф. ур. витікає як наслідок.
Як бачимо математика – це не школа англійської мови, тут потрібне розуміння матеріалу. Саме цим і володіли великі математики Ньютон і Лейбніц, які ще в XVII столітті поставили завдання знайти швидкість зміни функції щодо зміни аргументу.
Вони і ввели основні поняття, позначення та показали, як застосовувати це для вирішення багатьох завдань механіки та геометрії. Так як завдання про знаходження дотичної до довільної лінії і обчислення швидкості при довільному законі руху були першоджерелом даного обчислення.