1.Обумовленість Слау. Число обумовленості матриці
1. Зумовленість СЛАУ. Число обумовленості матриці
Для коректної постановки завдання потрібне існування і єдиність рішення, і навіть безперервна залежність рішення від вхідних даних. Розглянемо обернену задачу Ax=y для СЛАУ. Якщо A -1 ≠0, то розв'язання задачі існує і єдине. Вхідними даними у разі є коефіцієнти матриці лінійного оператора A і права частина. Нехай і матриця і права частина невиродженої системи Ax=y задані з деякою похибкою. Поруч із системою Ax=y розглянемо СЛАУ (A+ΔA)*(x+Δx)=y+Δy.
Визначення.Зворотне завдання для СЛАУ Ax=y стійке по правій частині, якщо для будь-яких справедлива оцінка Δx ≤CΔy, де C - постійна, незалежна від правої частини.
Ця оцінка висловлює факт безперервної залежності рішення від правої частини, тобто. показує, що ≤x→0 при ≤y→0.
Отримаємо оцінку відносної похибки рішення
□ Зрозуміло, що Δx=A -1 (ΔΔy-ΔAx-ΔAΔx). Тоді, використавши нерівність трикутника, отримуємо ΔxA -1 Δy+A -1 ΔAx+A -1 ΔAΔx, або Позначимо τ(A)=condA=A -1 *A. Тоді
Зауважимо, що оскільки y=Ax≤A*x. Тоді для оцінки відносної похибки рішення одержимо остаточно Позначимо відносну помилку вимірювання, - відносну помилку завдання оператора. Розмір τ(A)=condA=A -1 *A називається числом обумовленості Тьюринга матриці A (коефіцієнтом посилення помилки). Тоді При ΔA=0 отримуємо оцінку за наявності похибки лише правих частин δ(x)≤τδ(y). □
(Коментар.В результаті отримано співвідношення, що показує, наскільки зростають відносні помилки рішення СЛАУ у разі наявності відносних помилок при завданні правих частин і елементів матриць. Це не поліпшується оцінка відносної помилки рішення, яка, звичайно, може бутисуттєво завищеною. Зрозуміло, що τ(A)=A -1 A≥A -1 A=E=1 , тобто для будь-якої матричної норми число обумовленості не менше одиниці. Великі значення числа обумовленості відповідають матрицям, що погано обертаються чисельними методами. Для нормованих матриць (тобто матриць, у яких A=1) це означає наявність у зворотній матриці великих елементів, і, отже, малі зміни правої частини можуть призвести до відносно великих (хоч і кінцевих) змін у рішенні. Тому системи з погано обумовленими матрицями практично нестійкі, хоча завдання коректне і виконано умову стійкості A -1 10 3 , то СЛАУ обумовлена погано, що призводить до великих, але кінцевих змін у рішенні. Погана обумовленість не наслідок трохи порівняно з одиницею визначника А і тому, що знаменник малий чи зворотна матриця близька до 0, а рахунок появи у зворотній матриці великих членів. З'являється клас"майже вироджених операторів". Можна навести приклад, де визначник матриці буде не малий порівняно з коефіцієнтами. Розглянемо діагональну матрицю A20*20 у якої всі діагональні елементи дорівнюють 10 і діагональну матрицю A'20*20, у якої всі діагональні елементи дорівнюють 10, крім останнього, що дорівнює 10 -18 . Тоді detA=10 20 а detA'=10 19 *10 -18 =10, condA=1, condA'=10 19 . Помилка в 10-18 різко змінює поведінку системи (точність у фізиці до 10-12-10-13, в астрономії до 10-6, в техніці до 10-3, у психології від 10%).
Приклад.Розглянемо СЛАУ Її рішення =. Однак рішення СЛАУ вже =, тобто похибка рішення суттєво більша, похибки визначення коефіцієнта. Для матриці зворотна матриця має вигляд Тоді число обумовленості condA, обчислене, наприклад, за малі норми, виявляється рівним більше 10 6 .