§2. Обмежені, монотонні послідовності.

Визначення.Послідовність n> називаєтьсяобмеженою, якщо існує таке число М>0, що для будь-якогоnвірна нерівність:

тобто. усі члени послідовності належать проміжку (-М; M).

Наприклад, послідовності 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) – обмежені, а послідовність 1 0) – необмежена.

Безпосередньо з визначення обмеженої послідовності та визначення межі послідовності випливає теорема:

Слід зазначити, що зворотне твердження не так, тобто. з обмеженості послідовності не випливає її збіжність.

Наприклад, послідовність

не має межі, хоча

Визначення.Послідовність n>називаєтьсяобмеженою зверху, якщо для будь-якогоnіснує таке число М, що xn £M.

Визначення.Послідовність n>називаєтьсяобмеженою знизу, якщо для будь-якогоnіснує таке число М, що xn ³M

Визначення.1) Якщоxn+1>xnдля всіхn, то послідовність зростаюча.

2) Якщо xn+1³xnдля всіхn, то послідовність незнижена.

3) Якщо xn+1 xn. Послідовність зростаюча, як і слід було довести.

Приклад.З'ясувати є зростаючою або спадною послідовність

n> =

.

Рішення.Знайдемо

. Знайдемо різницю

, т.к.nÎN, то 1 – 4n 0 існує таке числоN, що xN>a-e, де а – деяка верхня грань множини.

Т.к. n>- неубутня послідовність, то приN>nа -e a - e.

Звідси a - e у , тодіlnx=ln10 y , отжеlnx=yln10

у = , де М = 1/ln10 »0,43429 ... - модуль переходу.

---