2.2. Класичне визначення ймовірності

Класичною схемою, чи схемою випадків, називається випробування, у якому число елементарних результатів звісно і всі їх рівноможливі.

Елементарна подія (вихід) ω називається сприятливою подіїА, якщо її поява тягне настання подіїА(т. е. ω входить до елементів, складовихА) .

Класичною ймовірністюподіїАназивається відношення числаMелементарних подій, що сприяють подіїА, доNвсіх елементарних подій цієї схеми

.

З визначення ймовірності випливає, щоР(Ø) = 0 і .

Приклад 2.7.До магазину надійшло 40 нових кольорових телевізорів, серед яких 7 мають приховані дефекти. Навмання відбирається один телевізор для перевірки. Яка ймовірність, що вона не має прихованих дефектів?

Рішення.Число телевізорів, що не мають прихованих дефектів, дорівнює . Число всіх елементарних результатів всіх телевізорів , що надійшли , дорівнює . Отже, за класичним визначенням ймовірності ймовірність того, що відібраний телевізор не має прихованих дефектів (подіяА), дорівнює

.

Рішення.Студенту необхідно з 10 лекцій, які можуть бути поставлені в розклад, причому в певному порядку, вибрати три. Отже, число всіх можливих результатів випробування дорівнює кількості розміщень з 10 по 3, тобто.

.

Сприятливий же випадок тільки один, тобто.

.

Відповідь:.

Приклад 2.9.У під'їзді будинку встановили замок із кодом. Двері автоматично відчиняються, якщо в певній послідовності набрати три цифри з можливих десяти. Хтось увійшов у під'їзд і, не знаючи коду, став навмання пробувати різні комбінації з трьох цифр.На кожну спробу він витрачає 15 секунд. Яка ймовірність подіїА=?

Рішення.Так як цифри, що входять в номер, що набираються, можуть повторюватися і порядок їх набору грає істотну роль, то ми приходимо до схеми розміщень з повтореннями. Число можливих варіантів набору трьох цифр з 10 можливих одно За одну годину, витрачаючи на набір комбінації 15 секунд, можна набрати 240 різних комбінацій, тобтоM =240. Шукана ймовірність

Відповідь:

Приклад 2.10.Знайти ймовірність того, що дні народження 12 осіб припадуть на різні місяці року.

Рішення.Оскільки кожна з 12 осіб може народитися в будь-якому з 12 місяців року, то число всіх можливих варіантів можна порахувати за формулою розміщень з повтореннями

Число сприятливих випадків отримаємо, переставляючи місяці народження у цих 12 осіб, тобто.

.

Тоді шукана ймовірність дорівнюватиме

Відповідь:

Приклад 2.11.На полиці стоять 15 книг, 5 з них у палітурці. Беруть навмання три книги. Яка ймовірність того, що всі три книги в палітурці?

Рішення.Досвід полягає в тому, що з 15 книг відбирають 3, причому в якому порядку вони відібрані, ролі не грає. Отже, число можливих способів вибору дорівнюватиме кількості поєднань з 15 по 3, тобто.

Число сприятливих випадків дорівнюватиме кількості поєднань з 5 по 3, тобто.

Шукана ймовірність

Відповідь:

Приклад 2.12.У кондитерській є 6 видів тістечок. Черговий покупець вибив чек на 3 тістечка. Вважаючи, що будь-який набір тістечок, що замовляється, рівноймовірний, обчислити ймовірність того, що покупець замовив тістечка різних видів.

Рішення.Число всіх можливих видів замовлень 3 тістечок дорівнює кількості поєднань зповтореннями з 6 елементів з 3, тобто.

Число сприятливих випадків дорівнюватиме кількості поєднань з 6 по 3, тобто.

Відповідь:

Приклад 2.13.Десять приїжджих чоловіків, серед яких Петров та Іванов, розміщуються в готелі у двох тримісних та одному чотиримісному номерах. Яка ймовірність подіїА, що полягає в тому, що Петров та Іванов потраплять у чотиримісний номер?

Рішення.Число всіх можливих розміщень 10 осіб у двох тримісних та одному чотиримісному номері дорівнює числу перестановок з десяти елементів, серед яких 3 одного виду, 3 іншого та 4 третього, тобто.

Після того як Іванов і Петров будуть розміщені в чотиримісному номері, решта 8 осіб повинні бути розміщені в двох тримісних і на два вільні місця, що залишилися, в чотиримісному номері, це можна буде зробити наступним чином:

Шукана ймовірність

Відповідь:

---