§ 3. Прості числа Ферма

Існує також ще один тип простих чисел із великою та цікавою історією. Вони були вперше запроваджені французьким юристом П'єром Ферма (1601–1665), який прославився своїми визначними математичними роботами. Першими п'ятьма простими числами Ферма є

Відповідно до цієї послідовності загальна формула для простих чисел Ферма повинна мати вигляд

Ферма був абсолютно впевнений, що всі числа цього виду є простими, хоча він не проводив обчислень інших чисел, крім зазначених п'яти. Однак це припущення було здано до архіву невиправданих математичних гіпотез після того, як Леонард Ейлер зробив ще один крок і показав, що наступне число Ферма

F 5 = 4294967297 = 641 6700417

не є простим, що і показує наведений запис. Можливо, що цим історія чисел Ферма було б закінчено, якби числа Ферма не з'явилися зовсім іншою задачі, задачі побудови правильних багатокутників з допомогою циркуля і лінійки.

Правильним багатокутником називається багатокутник, вершини якого лежать на деякому колі на однакових відстанях одна від одної (рис. 13). Якщо у правильного багатокутника n вершин, ми називаємо його правильним n-кутником.

Якщо ми проведемо n радіусів, що з'єднують центр кола з вершинами, то отримаємо n центральних кутів завбільшки

кожен. Якщо можна побудувати кут, що має цю величину, можна побудувати і цей n-кутник.

Стародавні греки дуже хотіли знайти методи побудови правильних багатокутників за допомогою циркуля та лінійки. Зрозуміло, вони вміли будувати найпростіші — рівносторонній трикутник і квадрат. За допомогою повторного поділу навпіл центрального кута вони могли також побудувати правильнібагатокутники з

вершинами. Крім того, вони вміли будувати правильний п'ятикутник, а отже, також правильні багатокутники з

вершинами. Було також отримано ще один тип правильного багатокутника. Центральний кут у правильному 15-кутнику дорівнює

і він може бути отриманий за допомогою утла 72°, відповідного правильному п'ятикутнику, і кута 120°, відповідного правильному трикутнику, якщо подвоїти перший кут і відняти з нього другий. Отже, ми можемо побудувати правильні багатокутники з 15, 30, 60, 120 сторонами.

У такому стані проблема залишалася до 1801, коли вийшла робота з теорії чисел молодого німецького математика К. Ф. Гаусса (1777-1855) «Арифметичні дослідження». Вона відкрила нову епоху в математиці. Гаусс перевершив грецьких геометрів у тому, що вказав метод побудови циркулем і лінійкою правильного 17-угольника, а й пішов набагато далі. Для всіх чисел n він визначив, які n-кутники можуть бути побудовані в такий спосіб, а які ні. Зараз ми опишемо результати, отримані Гаусом.

Вище ми зазначали, що з правильного n-кутника можна отримати правильний 2n-кутник, ділячи кожен центральний кут навпіл. З іншого боку, із 2n-кутника можна отримати n-кутник, використовуючи лише кожну другу вершину. Це показує, що достатньо провести пошук правильних багатокутників, які можуть бути побудовані за допомогою циркуля та лінійки, лише серед багатокутників з непарним числом вершин. Гаусс довів, що правильний n-кутник з непарним числом вершин може бути побудований за допомогою циркуля та лінійки тоді, і лише тоді, коли число n є простим числом Ферма або твором кількох різних простих чисел Ферма.

Що це дає нам для невеликих значень n?Очевидно, що 3-кутник і 5-кутник можуть бути побудовані, у той час як 7-кутник не може, тому що 7 не є простим числом Ферма. Не може бути побудований і 9-кутник, тому що 9 = 3 • 3 є добутком двох рівних простих чисел Ферма.

Відкриття Гаусса, природно, відродило інтерес до числа Ферма (2.3.1). За останнє століття були здійснені героїчні пошуки, вручну, без допомоги машин, нових простих чисел Ферма. В даний час ці обчислення продовжуються з дедалі більшою швидкістю за допомогою ЕОМ. Проте досі результати були негативними. Жодного нового простого числа Ферма не було знайдено і зараз багато математиків схильні вважати, що їх більше немає.

Система завдань 2.3.